1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn:
\[ x^{3}+y^{3}=x^{2}+42xy+y^{2}.\]
2. Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $\Gamma$. $t_{B}$ và $t_{C}$ lần lượt là các tiếp tuyến của $\Gamma$ tại $B$ và $C$, $L$ là giao điểm của 2 tiếp tuyến đó. Đường thẳng qua $B$ song song với $AC$ cắt $t_{C}$ tại điểm $D$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AB$ cắt $t_{B}$ tại điểm $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDC$ cắt $AC$ tại $T$ ($T$ nằm giữa $A$ và $C$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEC$ cắt đường thẳng $AB$ tại $S$ ($B$ nằm giữa $S$ và $A$). Chứng minh rằng $ST,AL$ và $BC$ đồng quy.
3. Kí hiệu $\mathbb{N}$ là tập hợp các số tự nhiên. Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ sao cho
\[n+f(m)\mid f(n)+nf(m)\]
với $m,n\in \mathbb{N}$
4. Trên $1$ bàn tròn có $n>2$ học sinh ngồi. Đầu tiên, mỗi học sinh có $1$ viên kẹo. Mỗi bước tiếp theo, mỗi học sinh chọn một trong những hành động sau:
(A) Đưa $1$ viên kẹo cho học sinh ngồi bên trái hoặc bên phải người đó.
(B) Chia số kẹo thành $2$ phần (có thể không có gì), $1$ phần đưa cho người bên trái và phần còn lại cho người bên phải người đó.
Mỗi bước, các học sinh thực hiện hành động của mình cùng một lúc.
Sự phân chia số kẹo được gọi là hợp lệ nếu nó xảy ra trong số bước hữu hạn.
Tìm số lượng phân chia hợp lệ.
(Hai sự sắp xếp khác nhau khi mà có một học sinh ở mỗi sự sắp xếp có số kẹo khác nhau )
Cảm ơn bạn NHoang1608 đã dịch.