Chủ đề này có 1 trả lời

[datthyqt]

Giải phương trình $3x^{4}-8x-3=0$

[HoangKhanh2002]

Giải phương trình $3x^{4}-8x-3=0$

Ta chuyển về dạng tổng quát

$3x^4-8x-3=0 \Leftrightarrow 3x^4=8x+3$

Ta chọn thêm ẩn y, cộng hai vế của phương trình trên cho $3x^2y+\frac{3}{4}$ ta được:

$3\left ( x^2+\frac{y}{2} \right )^2=3x^2y+8x+\frac{3}{4}y^2+3$

Lựa chọn y sao cho vế phải có dạng một bình phương. Khi đó biệt thức $\Delta$ phải bằng 0, tức là: $\Delta '=4^2-3y\left ( \frac{3}{4}y^2 +3\right )=0\Leftrightarrow 16-\frac{9}{4}y^3-9y=0$

Để giải phương trình này

Biểu thị y thành tổng của hai ẩn u, v, tức là $y=u+v$. Như thế thay vào: $-\frac{9}{4}(u+v)^3-9(u+v)+16=0\Leftrightarrow \left ( -\frac{9}{4}u^3-\frac{9}{4}v^3+16 \right )-(u+v)\left (\frac{27}{4}uv+9 \right )=0\Leftrightarrow -\frac{9}{4}\left ( u^3+v^3-\frac{64}{9} \right )-\left ( \frac{27}{4}uv+9 \right )(u+v)=0$

Ta chọn u, v sao cho: $\left\{\begin{matrix} u^3+v^3=\frac{64}{9}\\ (uv)^3=\left ( -\frac{4}{3} \right )^3 \end{matrix}\right.\Rightarrow$ $u^3;v^3$ là nghiệm của phương trình: $t^2-\frac{64}{9}t-\frac{64}{27}\Rightarrow t= \frac{32\pm 8\sqrt{19}}{9}\Rightarrow y=\sqrt[3]{\frac{32+ 8\sqrt{19}}{9}}+\sqrt[3]{\frac{32- 8\sqrt{19}}{9}}$

Ta cần phân tích: $\sqrt[3]{\frac{32+ 8\sqrt{19}}{9}}$ thành tổng bậc 3

Ta đưa các tham số z, t sao cho: $\sqrt[3]{32+ 8\sqrt{19}}=(z+t)^3 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} z^3+t^3=96\\ zt(z+t)=8\sqrt{19} \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng nên: $z^3+t^3-\frac{12}{\sqrt{19}}z^2t-\frac{12}{\sqrt{19}}zt^2=0\Rightarrow \left ( \frac{z}{t} \right )^3-\frac{12}{\sqrt{19}}\left ( \frac{z}{t} \right )^2-\frac{12}{\sqrt{19}}\frac{z}{t}+1=0\Rightarrow \left ( \frac{z}{t}+1 \right )\left ( \left ( \frac{z}{t} \right )^2-\frac{19+12\sqrt{19}}{19}\frac{z}{t}+1 \right )=0$

Đến đây bó tay.....