Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh bất đẳng thức

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
thutrang131

thutrang131

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng :

$\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{b^{2}+2c^{2}}}{bc}+\frac{\sqrt{c^{2}+2a^{2}}}{ca}\geq \sqrt{3}$



#2
NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng :

$\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{b^{2}+2c^{2}}}{bc}+\frac{\sqrt{c^{2}+2a^{2}}}{ca}\geq \sqrt{3}$

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$  $(1)$

Ta có $\sum\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}{ab}=\sum \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+\frac{2}{a^{2}}}$

Áp dụng BĐT $Minkovsky$ thì $\sum \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+\frac{2}{a^{2}}} \geq \sqrt{(\sum \frac{1}{b})^{2} +(\sum \frac{\sqrt{2}}{a})^{2}}$  $(*)$

Sử dụng  $(1)$ kết hợp với $(*)$ thì $\sum\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}{ab} \geq \sqrt{1^{2}+(\sqrt{2}.1)^{2}} = \sqrt{3}$

Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 07-05-2017 - 12:10

The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#3
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng :

$\frac{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}{ab}+\frac{\sqrt{b^{2}+2c^{2}}}{bc}+\frac{\sqrt{c^{2}+2a^{2}}}{ca}\geq \sqrt{3}$

 

Từ $abc=1$$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}$$(x,y,z>0)$$\Rightarrow x+y+z=1$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sqrt{y^2+2x^2}+\sqrt{z^2+2y^2}+\sqrt{x^2+2z^2}\geq \sqrt{3}$

Áp dụng BĐT Minkowski, ta có: $\sqrt{y^2+2x^2}+\sqrt{z^2+2y^2}+\sqrt{x^2+2z^2}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+2(x+y+z)^2}$$=\sqrt{3}$ $(Q.E.D)$

Đạt tại: $a=b=c=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 07-05-2017 - 13:51

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh