Chủ đề này có 2 trả lời

[KaveZS]

Cho số phức z thoả mãn $|z|=1$

 

Tìm min max của $A = |z^{3}-z+2|$

[An Infinitesimal]

Cho số phức z thoả mãn $|z|=1$

 

Tìm min max của $A = |z^{3}-z+2|$

 

Lời giải 1:

 

$z=\cos t+ i \sin t, t\in [0, 2\pi).$

\[|z^3-z+2|^2=(\cos {(3t)}-\cos t+2)^2+(\sin {(3t)}-\sin t)^2= 6 +4\left(\cos{(3t)} - 4\cos{t}\right) - 2\cos{(2t)}=8+4(4\cos^3 {t}-\cos^2 t-4\cos t).\]

Đặt $u=\cos t, u\in [-1,1].$ Khi đó, 

\[|z^3-z+2|^2= 8+4(4u^3-u^2-4u).\]

Bằng công cụ khảo sát hàm số, ta có 

\[|z^3-z+2|_{\text{max}}= \sqrt{13},\]\[ |z^3-z+2|_{\text{min}}=\frac{2\sqrt{6}}{9}.\]

[An Infinitesimal]

Lời giải 2:

 

Vì $|z|=1$ nên $z \overline{z}=1.$

Do đó \[z^3-z+2=z^3-z+2z \overline{z}=z \left( z^2-1+2 \overline{z}\right).\]

 

\[|z^3-z+2|=|z||z^2-1+2 \overline{z}|=|z^2-1+2 \overline{z}|.\]

 

Đặt $a=Re(z), b=Im(z).$ Khi đó $a^2+b^2=1.$ Và

\[z^2-1+2\overline{z}=a^2  + 2a-1 - b^2 + 2b(a-1)i= 2(a^2+a-1)+2b(a-1)i.\]

Do đó 

\[|z^3-z+2|^2= 4(a^2+a-1)^2+4b^2(a-1)^2= 4(a^2+a-1)^2+4(1-a^2)(a-1)^2=16a^3 - 4a^2 - 16a + 8.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 07-05-2017 - 16:22