$\text{Cho $x,y>0$ và $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=2018$. Tìm $\text{Max } xy$}$
#1
Đã gửi 07-05-2017 - 15:47
#2
Đã gửi 07-05-2017 - 16:06
$\text{Cho $x,y>0$ và $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=2018$. Tìm $\text{Max } xy$}$
Đặt $K=x^2y^2\implies y^2=\frac{K}{x^2};t=x^2$.
Khi đó ta có: $2t+\frac{1}{t}+\frac{K}{4t}=2018\iff 2t+\frac{K+4}{4t}-2018=0\iff 8t^2-8072t+K+4=0=f(t)$.
Để phương trình này có nghiệm thì $\Delta'_{f(t)}\ge 0\iff 4036^2-8(K+4)\ge 0\iff K\le \frac{4036^2}{8}-4=2036158$.
Dấu $=$ xảy ra tại $t=\frac{1009}{2}\implies y^2=\frac{4072316}{2}$.
Kết luận: Vậy $Max_{xy}=\sqrt{2036158}$. Dấu $=$ xảy ra tại $x=\sqrt{\frac{1009}{2}};y=\sqrt{\frac{4072316}{1009}}$
Ps: Phương pháp miền giá trị.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 07-05-2017 - 16:13
- tienduc, HoangKhanh2002, Nghiapnh1002 và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 08-05-2017 - 08:31
Đặt $K=x^2y^2\implies y^2=\frac{K}{x^2};t=x^2$.
Khi đó ta có: $2t+\frac{1}{t}+\frac{K}{4t}=2018\iff 2t+\frac{K+4}{4t}-2018=0\iff 8t^2-8072t+K+4=0=f(t)$.
Để phương trình này có nghiệm thì $\Delta'_{f(t)}\ge 0\iff 4036^2-8(K+4)\ge 0\iff K\le \frac{4036^2}{8}-4=2036158$.
Dấu $=$ xảy ra tại $t=\frac{1009}{2}\implies y^2=\frac{4072316}{2}$.
Kết luận: Vậy $Max_{xy}=\sqrt{2036158}$. Dấu $=$ xảy ra tại $x=\sqrt{\frac{1009}{2}};y=\sqrt{\frac{4072316}{1009}}$
Ps: Phương pháp miền giá trị.
Bạn có cách nào khác không? Cách này khó hiểu quá
$\sqrt{MF}$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: gtln, xy
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh