Đến nội dung

Hình ảnh

Tuần 2 tháng 5/2017: Chứng minh rằng trung trực $HL$ chia đôi $BC$.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Như vậy lời giải cho hai bài toán Tuần 1 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và của hai anh Hoàng Hữu Quốc Huy, Ngô Quang Dương. Xin trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ và có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $AO$ cắt $EF$ tại $J$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AJD$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $HK$ cắt $EF$ tại $P$. $N$ là trung điểm $EF$. $Q$ đối xứng $P$ qua $N$. $R$ là hình chiếu của $H$ trên $AN$. Trên $QR$ lấy $L$ sao cho $HL \perp EF$. Chứng minh rằng trung trực $HL$ chia đôi $BC$.

 

Screen Shot 2017-05-08 at 3.30.03 PM.png

 

Bài 2. Cho hai điểm $P,Q$ liên hợp đẳng giác với tam giác $ABC$. $PA,PB,PC$ cắt $BA,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Một đường thẳng $\ell$ đi qua $Q$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Chứng minh rằng các đường tròn $(ADX),(BEY),(CFZ),(ABC)$ có một điểm chung.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 13-05-2017 - 08:56
Thêm link + chỉnh lỗi đánh máy.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Lời giải bài 1 : 

Gọi $A'$ đối xứng $A$ qua $O$. $EF$ cắt $BC$ tại $X$. $A'X$ cắt $(O)$ tại $K$
Khi đó $A,J,K,X,D$ đồng viên vì cùng nằm trên đường tròn $(AX)$.
Gọi $V$ là giao của $(AH)$ với $(O)$. Khi đó $\overline{A,V,X} $ và $ \overline{V,H,M,A'}$
Ta cần chứng minh $MH = ML $, tức là $L$ đối xứng $A'$ qua trung trực $EF$
Gọi $G$ là giao điểm của $AM$ với $(AEF)$. Ta có do $AM,AR$ đẳng giác trong $\angle BAC$ nên $G,R$ đối xứng nhau qua trung trực $EF$
Xử dụng phép đối xứng trục qua trung trực $EF$, ta đưa bài toán về chứng minh $A',P'G$ thẳng hàng. Thật vậy, nếu ta giả sử $P$ là giao điểm của $A'G$ với $KH$, gọi $W$ là giao điểm của $GK$ với $HA'$. Ta có : $X(PW,HK_)= -1$. Ta cần chứng minh $X(EW,HK) = -1$
Gọi $T$ là giao điểm của $HV$ với $EF$. Xét phép nghịch đảo $I^A_{AB.AF = AC.AE}$ biến $V \rightarrow X, H \rightarrow D, EF \rightarrow (O) \implies T \rightarrow K$
Suy ra $\overline{A,T,K}$. Gọi $Z$ là giao điểm của $AM$ với $EF$ ; $U$ là giao điểm của $GT$ với $XK$
Vậy ta có biến đổi tỉ số $X(EW,HK) = X(TW,HA') = G(TW,HA') = G(UK,XA') = T(UK,XA') = T(GA,ZM) = X(GA,ZM) = X(HA,FB) = -1$

Vậy điều cần chứng minh là đúng nên $A',G,P$ thẳng hàng, suy ra $M$ nằm trên trung trực $LH$

Untitled.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 08-05-2017 - 13:29


#3
manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Lời giải bài 2 :  Gọi $M,N,R$ là giao điểm của $AQ,BQ,CQ$ với $(O)$. Theo Pascal đảo ta có $MX,NY,RZ$ đồng quy tại $U$

Khi đó ta có $(UZ,UC) = (AR,AC) = (AR,AB)+(AB,AC) = (CQ,CB)+ (AB,AC) = (CA,CF) + (AB,AC) = (FA,FC) = (FZ,FC) \implies $ tứ giác $YFUC$ nội tiếp. Vậy $U \in (CZF)$

Tương tự ta có $U \in (BYE) , U \in (AXD)$. Suy ra 3 đường tròn trên cùng với $(O)$ đồng quy tại $U$

18423716_1891690341044106_964129297620655782_n.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 09-05-2017 - 18:11


#4
mr dong

mr dong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Như vậy lời giải cho hai bài toán Tuần 1 tháng 5/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và của hai anh Hoàng Hữu Quốc Huy, Ngô Quang Dương. Xin trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ và có đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. $AO$ cắt $EF$ tại $J$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AJD$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $HK$ cắt $EF$ tại $P$. $N$ là trung điểm $BC$. $Q$ đối xứng $P$ qua $N$. $R$ là hìnt chiếu của $H$ trên $AN$. Trên $QR$ lấy $L$ sao cho $HL \perp EF$. Chứng minh rằng trung trực $HL$ chia đôi $BC$.

 

attachicon.gifScreen Shot 2017-05-08 at 3.30.03 PM.png

 

Bài 2. Cho hai điểm $P,Q$ liên hợp đẳng giác với tam giác $ABC$. $PA,PB,PC$ cắt $BA,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Một đường thẳng $\ell$ đi qua $Q$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $X,Y,Z$. Chứng minh rằng các đường tròn $(ADX),(BEY),(CFZ),(ABC)$ có một điểm chung.

 

đề bài 1 sai rồi kìa bạn N trung điểm EF mới đúng chứ







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh