Chủ đề này có 3 trả lời

[The Flash]

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c+ab+bc+ca=5$.

Chứng minh $9\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}+\frac{16\left ( a+b+c \right )^2}{ab^2+bc^2+ca^2+abc}\geq 63$

[KietLW9]

Từ giả thiết suy ra: $t=a+b+c\geqslant \frac{\sqrt{69}-3}{2}$

Áp dụng bổ đề quen thuộc: $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4}{27}(a+b+c)^3$

Ta cần chứng minh: $9\sqrt{(a+b+c)^2+2(a+b+c)-6}+\frac{108}{a+b+c}\geqslant 63$

Easy!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-12-2021 - 14:48

[nhatvinh2018]

Từ giả thiết suy ra: $t=a+b+c\geqslant \frac{\sqrt{69}-3}{2}$

Áp dụng bổ đề quen thuộc: $ab^2+bc^2+ca^2+abc\leqslant \frac{4}{27}(a+b+c)^3$

Ta cần chứng minh: $9\sqrt{(a+b+c)^2+2(a+b+c)-6}+\frac{108}{a+b+c}\geqslant 63$

Easy!

chứng minh cái cuối xem thử bạn (dễ người khó ta đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-12-2021 - 14:49

[KietLW9]

chứng minh cái cuối xem thử bạn (dễ người khó ta đó

Mình thấy dễ thật á, nếu cấp 3 thì đạo hàm phát ra ngay, còn cấp 2 thì biến đổi chút là ra

Ta cần chứng minh: $9\sqrt{t^2+2t-6}\geqslant \frac{63t-108}{t}$ (*)

Vì $t\geqslant \frac{\sqrt{69}-3}{2}\Rightarrow 63t-108>0$ 

Bình phương hai vế của (*) rồi rút gọn, ta được: $81(t-3)^2(t^2+8t-16)\geqslant 0$

Đúng do $t\geqslant \frac{\sqrt{69}-3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 17-12-2021 - 14:48