Chủ đề này có 4 trả lời

[The Flash]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\left ( \frac{zx}{y}+\frac{y^2}{z} \right )\left ( \frac{xy}{z}+\frac{z^2}{x} \right )\left ( \frac{yz}{x}+\frac{x^2}{y} \right )\geq \left ( \frac{zx}{y}+y \right )\left ( \frac{xy}{z}+z \right )\left ( \frac{yz}{x}+x \right )$

[AnhTran2911]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\left ( \frac{zx}{y}+\frac{y^2}{z} \right )\left ( \frac{xy}{z}+\frac{z^2}{x} \right )\left ( \frac{yz}{x}+\frac{x^2}{y} \right )\geq \left ( \frac{zx}{y}+y \right )\left ( \frac{xy}{z}+z \right )\left ( \frac{yz}{x}+x \right )$

BĐT trên tương đương với BĐT :

$\prod{y^3+z^2x}\geq\prod{x}\prod(x+y)$

Áp dụng CS ta có $y^3+z^2x\geq\frac{(y^2+zx)^2}{x+y}$ Quy về CM BĐT đối xứng:

$\prod(x^2+yz)\geq{xyz}\prod(x+y)$

Thật vậy BĐT này sau khi khai triển có thể viết lại thành $\sum{x^3}+\sum\frac{x^2y^2}{z}\geq\sum{xy(x+y)}$

Qua phép đánh giá $\sum\frac{x^2y^2}{z}\geq{3xyz}$ ( AM-GM)

Thì BĐT còn lại là schur bậc 3 quen thuộc.

[The Flash]

BĐT trên tương đương với BĐT :

$\prod{y^3+z^2x}\geq\prod{x}\prod(x+y)$

Áp dụng CS ta có $y^3+z^2x\geq\frac{(y^2+zx)^2}{x+y}$ Quy về CM BĐT đối xứng:

$\prod(x^2+yz)\geq{xyz}\prod(x+y)$

Thật vậy BĐT này sau khi khai triển có thể viết lại thành $\sum{x^3}+\sum\frac{x^2y^2}{z}\geq\sum{xy(x+y)}$

Qua phép đánh giá $\sum\frac{x^2y^2}{z}\geq{3xyz}$ ( AM-GM)

Thì BĐT còn lại là schur bậc 3 quen thuộc.

giải thích đoạn màu đỏ với

[AnhTran2911]

giải thích đoạn màu đỏ với

CS

[tuaneee111]

Ta có:

\[\prod\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{x^2}}}{y} + \frac{{{y^2}}}{z}} \right) - \prod\limits_{cyc} {\left( {\frac{{{x^2}}}{y} + y} \right)}  = } \sum\limits_{cyc} {{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {\frac{{3{x^2} + 2xy + {y^2}}}{{3y}} + \frac{{{x^2}{y^2}{z^2}\left( {3{y^2} + 2xy + {x^2}} \right)}}{{3{y^3}{x^4}}}} \right)}  \ge 0\]

Vậy bđt đc cm!

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 10-05-2017 - 09:58