Cho $A=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$; $n\in N$. Chứng minh nếu $A\in N$ thì $A$ là số chính phương.
Chứng minh A là số chính phương
#1
Đã gửi 09-05-2017 - 16:39
#2
Đã gửi 09-05-2017 - 17:45
Để $A$ là số tự nhiên thì $12n^2+1$ là số chính phương
Đặt $12n^2+1=a^2$$\left ( a\epsilon \mathbb{N}^{*} \right )$
Giải phương trình nghiệm nguyên này ra được nghiệm: $a=7$;$n=2$ hoặc $a=7;n=-2$ hoặc $a=1;n=0$
Thay $n=2$ vào A, ta có: $A=16=4^2$ nên A là số chính phương
Tương tự các TH khác
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 09-05-2017 - 18:55
- hathanh123 yêu thích
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
#3
Đã gửi 09-05-2017 - 17:52
Do A nguyên <=>$\sqrt{12n^2+1}=k(k\epsilon \mathbb{N})<=>12n^2=k^2+1<=>k\equiv 1(mod2)=>k=2p+1(p\epsilon \mathbb{N})=>12n^2=4p^2+4p<=>3n^2=p^2+p$
Mà (p;p+1)=1 =>p=3q hoặc p=3q-1
xét p=3q=>$=>n^2=(3q+1)q=>2+2\sqrt{12n^2+1}=4+12q$ mà (3q+1;q)=1=>3q+1 =a$=>A=4a^2$=>dpcm
Ta cũng xét tương tự với p=3q-1
P/s: Một bài toán cũng tương tự :$2+2\sqrt{28n^2+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 09-05-2017 - 18:25
- hathanh123, Tea Coffee và Minhnksc thích
I Love $\sqrt{MF}$
#4
Đã gửi 09-05-2017 - 17:54
Để $A$ là số tự nhiên thì $12n^2+1$ là số chính phương
Đặt $12n^2+1=a^2$$\left ( a\epsilon \mathbb{N}^{*} \right )$
Giải phương trình nghiệm nguyên này ra được một nghiệm: $a=7$;$n=2$
Thay $n=2$ vào A, ta có: $A=16=4^2$ nên A là số chính phương
Không được đâu bạn ạ vì $12n^2+1=a^2$, đây là pt Pell nên sẽ có vô số nghiệm, mình thử giải theo cách này nhưng không được!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 09-05-2017 - 18:08
- hathanh123 và bigway1906 thích
I Love $\sqrt{MF}$
#5
Đã gửi 23-05-2017 - 17:06
Do A nguyên <=>$\sqrt{12n^2+1}=k(k\epsilon \mathbb{N})<=>12n^2=k^2+1<=>k\equiv 1(mod2)=>k=2p+1(p\epsilon \mathbb{N})=>12n^2=4p^2+4p<=>3n^2=p^2+p$
Mà (p;p+1)=1 =>p=3q hoặc p=3q-1
xét p=3q=>$=>n^2=(3q+1)q=>2+2\sqrt{12n^2+1}=4+12q$ mà (3q+1;q)=1=>3q+1 =a$=>A=4a^2$=>dpcm
Ta cũng xét tương tự với p=3q-1
P/s: Một bài toán cũng tương tự :$2+2\sqrt{28n^2+1}$
phải là $12n^2 = k^2- 1$ chứ bạn? với mình k hiểu lắm, 3q+1 = a thì A = 4a chứ nhỉ?
#6
Đã gửi 23-05-2017 - 17:21
phải là $12n^2 = k^2- 1$ chứ bạn? với mình k hiểu lắm, 3q+1 = a thì A = 4a chứ nhỉ?
Xin lỗi,mình đánh nhầm!
Còn $3q+1=a^2$ do ta có tính chất:Tích của 2 số nguyên tố cùng nhau là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 23-05-2017 - 17:23
I Love $\sqrt{MF}$
#7
Đã gửi 23-05-2017 - 17:34
Xin lỗi,mình đánh nhầm!
Còn $3q+1=a^2$ do ta có tính chất:Tích của 2 số nguyên tố cùng nhau là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương.
mình hiểu r, cảm ơn bạn nha
#8
Đã gửi 23-05-2017 - 22:22
Bài thi chuyên ams năm ngoái
#9
Đã gửi 24-05-2017 - 15:10
Do A nguyên <=>$\sqrt{12n^2+1}=k(k\epsilon \mathbb{N})<=>12n^2=k^2+1<=>k\equiv 1(mod2)=>k=2p+1(p\epsilon \mathbb{N})=>12n^2=4p^2+4p<=>3n^2=p^2+p$
Mà (p;p+1)=1 =>p=3q hoặc p=3q-1
xét p=3q=>$=>n^2=(3q+1)q=>2+2\sqrt{12n^2+1}=4+12q$ mà (3q+1;q)=1=>3q+1 =a$=>A=4a^2$=>dpcm
Ta cũng xét tương tự với p=3q-1
P/s: Một bài toán cũng tương tự :$2+2\sqrt{28n^2+1}$
E thấy trường hợp $p=3q-1$ không ổn lắm vì làm theo trường hợp trên thì $2+2\sqrt{12n^{2}+1} = 4.3q$. Mà $n^{2}=q(3q-1) có (q;3q-1)=1$ nên q là số chính phương => 3q không là số chính phương trừ khi q=0
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#10
Đã gửi 24-05-2017 - 16:56
E thấy trường hợp $p=3q-1$ không ổn lắm vì làm theo trường hợp trên thì $2+2\sqrt{12n^{2}+1} = 4.3q$. Mà $n^{2}=q(3q-1) có (q;3q-1)=1$ nên q là số chính phương => 3q không là số chính phương trừ khi q=0
Ta có $3q-1$ là số chính phương nên $3q-1$ chia 3 dư 0,1.Mà $3q-1$ chia 3 dư 1 trong TH $q=1$
I Love $\sqrt{MF}$
#11
Đã gửi 24-05-2017 - 20:00
Ta có $3q-1$ là số chính phương nên $3q-1$ chia 3 dư 0,1.Mà $3q-1$ chia 3 dư 1 trong TH $q=1$
3.1-1 là 2 chia 3 dư 2 mà. Rõ ràng cách này không đc
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#12
Đã gửi 24-05-2017 - 20:06
3.1-1 là 2 chia 3 dư 2 mà. Rõ ràng cách này không đc
Ý mình đang nói là:3q-1 chia dư 2 với mọi q khác 0,nhưng 3q-1 là số chính phương mà trong khi đó một số chính phương khi chia 3 chỉ có thể có số dư là 0,1 mà thôi!
I Love $\sqrt{MF}$
#13
Đã gửi 24-05-2017 - 22:16
Ý mình đang nói là:3q-1 chia dư 2 với mọi q khác 0,nhưng 3q-1 là số chính phương mà trong khi đó một số chính phương khi chia 3 chỉ có thể có số dư là 0,1 mà thôi!
Sau đó em cũng hiểu rồi anh ạ, lúc đầu em mới hiểu sai thôi. Em sinh 2k3 nhé
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#14
Đã gửi 24-05-2017 - 23:52
Ý mình đang nói là:3q-1 chia dư 2 với mọi q khác 0,nhưng 3q-1 là số chính phương mà trong khi đó một số chính phương khi chia 3 chỉ có thể có số dư là 0,1 mà thôi!
mình vẫn chưa hiểu lắm sẽ giải tiếp trường hợp này như nào? bạn có thể nói rõ hơn đc k?
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh