Chủ đề này có 13 trả lời

[hathanh123]

Cho  $A=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$; $n\in N$. Chứng minh nếu $A\in N$ thì $A$ là số chính phương.

[Hoang Dinh Nhat]

Để $A$ là số tự nhiên thì $12n^2+1$ là số chính phương

Đặt $12n^2+1=a^2$$\left ( a\epsilon \mathbb{N}^{*} \right )$

Giải phương trình nghiệm nguyên này ra được nghiệm: $a=7$;$n=2$ hoặc $a=7;n=-2$ hoặc $a=1;n=0$

Thay $n=2$ vào A, ta có: $A=16=4^2$ nên A là số chính phương

Tương tự các TH khác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 09-05-2017 - 18:55

[ddang00]

Do A nguyên <=>$\sqrt{12n^2+1}=k(k\epsilon \mathbb{N})<=>12n^2=k^2+1<=>k\equiv 1(mod2)=>k=2p+1(p\epsilon \mathbb{N})=>12n^2=4p^2+4p<=>3n^2=p^2+p$

Mà (p;p+1)=1 =>p=3q hoặc p=3q-1

xét p=3q=>$=>n^2=(3q+1)q=>2+2\sqrt{12n^2+1}=4+12q$ mà (3q+1;q)=1=>3q+1 =a$=>A=4a^2$=>dpcm

Ta cũng xét tương tự với p=3q-1

P/s: Một bài toán cũng tương tự :$2+2\sqrt{28n^2+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 09-05-2017 - 18:25

[ddang00]

Để $A$ là số tự nhiên thì $12n^2+1$ là số chính phương

Đặt $12n^2+1=a^2$$\left ( a\epsilon \mathbb{N}^{*} \right )$

Giải phương trình nghiệm nguyên này ra được một nghiệm: $a=7$;$n=2$

Thay $n=2$ vào A, ta có: $A=16=4^2$ nên A là số chính phương

Không được đâu bạn ạ vì $12n^2+1=a^2$, đây là pt Pell nên sẽ có vô số nghiệm, mình thử giải theo cách này nhưng không được!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 09-05-2017 - 18:08

[bigway1906]

Do A nguyên <=>$\sqrt{12n^2+1}=k(k\epsilon \mathbb{N})<=>12n^2=k^2+1<=>k\equiv 1(mod2)=>k=2p+1(p\epsilon \mathbb{N})=>12n^2=4p^2+4p<=>3n^2=p^2+p$

Mà (p;p+1)=1 =>p=3q hoặc p=3q-1

xét p=3q=>$=>n^2=(3q+1)q=>2+2\sqrt{12n^2+1}=4+12q$ mà (3q+1;q)=1=>3q+1 =a$=>A=4a^2$=>dpcm

Ta cũng xét tương tự với p=3q-1

P/s: Một bài toán cũng tương tự :$2+2\sqrt{28n^2+1}$

phải là $12n^2 = k^2- 1$ chứ bạn? với mình k hiểu lắm, 3q+1 = a thì A = 4a chứ nhỉ?

[ddang00]

phải là $12n^2 = k^2- 1$ chứ bạn? với mình k hiểu lắm, 3q+1 = a thì A = 4a chứ nhỉ?

Xin lỗi,mình đánh nhầm!

Còn $3q+1=a^2$ do ta có tính chất:Tích của 2 số nguyên tố cùng nhau là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 23-05-2017 - 17:23

[bigway1906]

Xin lỗi,mình đánh nhầm!

Còn $3q+1=a^2$ do ta có tính chất:Tích của 2 số nguyên tố cùng nhau là một số chính phương thì mỗi số đều là số chính phương.

mình hiểu r, cảm ơn bạn nha

[kienvuhoang]

Bài thi chuyên ams năm ngoái

[Tea Coffee]

Do A nguyên <=>$\sqrt{12n^2+1}=k(k\epsilon \mathbb{N})<=>12n^2=k^2+1<=>k\equiv 1(mod2)=>k=2p+1(p\epsilon \mathbb{N})=>12n^2=4p^2+4p<=>3n^2=p^2+p$

Mà (p;p+1)=1 =>p=3q hoặc p=3q-1

xét p=3q=>$=>n^2=(3q+1)q=>2+2\sqrt{12n^2+1}=4+12q$ mà (3q+1;q)=1=>3q+1 =a$=>A=4a^2$=>dpcm

Ta cũng xét tương tự với p=3q-1

P/s: Một bài toán cũng tương tự :$2+2\sqrt{28n^2+1}$

E thấy trường hợp $p=3q-1$ không ổn lắm vì làm theo trường hợp trên thì $2+2\sqrt{12n^{2}+1} = 4.3q$. Mà $n^{2}=q(3q-1) có (q;3q-1)=1$ nên q là số chính phương => 3q không là số chính phương trừ khi q=0

[ddang00]

E thấy trường hợp $p=3q-1$ không ổn lắm vì làm theo trường hợp trên thì $2+2\sqrt{12n^{2}+1} = 4.3q$. Mà $n^{2}=q(3q-1) có (q;3q-1)=1$ nên q là số chính phương => 3q không là số chính phương trừ khi q=0 

 

 

 

Ta có $3q-1$ là số chính phương nên $3q-1$ chia 3 dư 0,1.Mà $3q-1$ chia 3 dư 1 trong TH $q=1$

[Tea Coffee]

Ta có $3q-1$ là số chính phương nên $3q-1$ chia 3 dư 0,1.Mà $3q-1$ chia 3 dư 1 trong TH $q=1$

3.1-1 là 2 chia 3 dư 2 mà. Rõ ràng cách này không đc

[ddang00]

3.1-1 là 2 chia 3 dư 2 mà. Rõ ràng cách này không đc

Ý mình đang nói là:3q-1 chia dư 2 với mọi q khác 0,nhưng 3q-1 là số chính phương mà trong khi đó một số chính phương khi chia 3 chỉ có thể có số dư là 0,1 mà thôi!

[Tea Coffee]

Ý mình đang nói là:3q-1 chia dư 2 với mọi q khác 0,nhưng 3q-1 là số chính phương mà trong khi đó một số chính phương khi chia 3 chỉ có thể có số dư là 0,1 mà thôi!

Sau đó em cũng hiểu rồi anh ạ, lúc đầu em mới hiểu sai thôi. Em sinh 2k3 nhé

[bigway1906]

Ý mình đang nói là:3q-1 chia dư 2 với mọi q khác 0,nhưng 3q-1 là số chính phương mà trong khi đó một số chính phương khi chia 3 chỉ có thể có số dư là 0,1 mà thôi!

mình vẫn chưa hiểu lắm sẽ giải tiếp trường hợp này như nào? bạn có thể nói rõ hơn đc k?