Tìm x, y nguyên dương thỏa $2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16$
Tìm x, y nguyên dương thỏa $2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16$
#1
Đã gửi 09-05-2017 - 21:22
$\sum_{x=7}^{18}x^{2}=2018$
#2
Đã gửi 10-05-2017 - 11:01
Nếu x chẵn, đặt x=2k, k thuộc N*, phương trình tương đương:
$(2^{k}.x)^{2}=(3y+1)^2+15$ $\Leftrightarrow$ $(2^{k}.x-3y-1)(2^{k}+3y+1)=15$
Đến đây biện luận $x,y,k$ thuộc N* rồi giải 2 trường hợp $(1;15)$ và $(3;5)$ được $(x;y)=(2;2)$
Nếu $x$ lẻ, đặt $x=2k+1$, k thuộc N*. Trước hết ta có :
$2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16=(3y+1)^{2}+15$ vế trái chia hết hai nên vế phải cũng chia hết 2 $\Rightarrow$$(3y+1)^{2}$ lẻ => $y$ chẵn.
Vì $y$ chẵn nên đặt $y = 2z$ ( z thuộc N*). Ta có phương trình:
$2^{2k+1}.x^{2}=9(2z)^{2}+6.2z+16$
$\Rightarrow$ $2^{2k}.x^{2}=[(3\sqrt{2}.z+\frac{1}{\sqrt{2}})]^{2}+6$.
Vì$ k,x,z$thuộc N* nên hai vế của phương trình một vế tự nhiên, một vế vô tỉ nên trường hợp này vô nghiệm.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là $(x,y)=(2,2)$. Bài toán được giải quyết.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 10-05-2017 - 11:11
- HoangKhanh2002 và Haton Val thích
$\mathbb{VTL}$
#3
Đã gửi 10-05-2017 - 11:53
Tìm x, y nguyên dương thỏa $2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16$
Cách khác: Dùng BĐT
$2^x.x^2=9y^2+6y+16=(3y+1)^2+15\geq 15\Rightarrow x\geq 2$
Xét $x=2$ $\Rightarrow y=0$ (thỏa mãn)
Xét $x\geq 3$. mà $x=3k$
Ta thấy $2^x.x^2\vdots 3$ và $(3y+1)^2+15$ chia 3 dư 1 (ko t/m)
tương tự với $x=3k+1$, $x=3k+2$ .... đều k thỏa mãn
Vậy $(x;y)=(1;0)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 10-05-2017 - 15:53
- hoangquochung3042002, Haton Val và TrBaoChis thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh