Chủ đề này có 2 trả lời

[Haton Val]

Tìm x, y nguyên dương thỏa $2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16$

[Drago]

Nếu x chẵn, đặt x=2k, k thuộc N*, phương trình tương đương:

$(2^{k}.x)^{2}=(3y+1)^2+15$ $\Leftrightarrow$ $(2^{k}.x-3y-1)(2^{k}+3y+1)=15$

Đến đây biện luận $x,y,k$ thuộc N* rồi giải 2 trường hợp $(1;15)$ và $(3;5)$ được $(x;y)=(2;2)$

Nếu $x$ lẻ, đặt $x=2k+1$, k thuộc N*. Trước hết ta có :

$2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16=(3y+1)^{2}+15$ vế trái chia hết hai nên vế phải cũng chia hết 2 $\Rightarrow$$(3y+1)^{2}$ lẻ => $y$ chẵn.

Vì $y$ chẵn nên đặt $y = 2z$ ( z thuộc N*). Ta có phương trình:

$2^{2k+1}.x^{2}=9(2z)^{2}+6.2z+16$ 

$\Rightarrow$ $2^{2k}.x^{2}=[(3\sqrt{2}.z+\frac{1}{\sqrt{2}})]^{2}+6$.

Vì$ k,x,z$thuộc N* nên hai vế của phương trình một vế tự nhiên, một vế vô tỉ nên trường hợp này vô nghiệm.

Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là $(x,y)=(2,2)$. Bài toán được giải quyết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 10-05-2017 - 11:11

[trambau]

Tìm x, y nguyên dương thỏa $2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16$

Cách khác: Dùng BĐT 

$2^x.x^2=9y^2+6y+16=(3y+1)^2+15\geq 15\Rightarrow x\geq 2$

Xét $x=2$ $\Rightarrow y=0$ (thỏa mãn)

Xét $x\geq 3$. mà $x=3k$

Ta thấy $2^x.x^2\vdots 3$ và $(3y+1)^2+15$ chia 3 dư 1 (ko t/m)

tương tự với $x=3k+1$, $x=3k+2$ .... đều k thỏa mãn

 Vậy $(x;y)=(1;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 10-05-2017 - 15:53