2 replies to this topic

[105160066]

$\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n^{2}}.e^{n}}$

 

$\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sqrt[n]{4}-\sqrt{\frac{n-2}{n}}\right)}$

[An Infinitesimal]

$\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n^{2}}.e^{n}}$

 

$\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\sqrt[n]{4}-\sqrt{\frac{n-2}{n}}\right)}$

Chỉ số bắt đầu của chuỗi thứ 2 bất ổn! Mình thay đổi chỉ số bắt đầu là 2.

 

 

Ta có

 

 

\[\sqrt[n]{4}-\sqrt{\frac{n-2}{n}} \ge 1-\sqrt{\frac{n-2}{n}}=\dfrac{\frac{2}{n}}{1+\sqrt{\frac{n-2}{n}}}> \frac{1}{n}>0.\forall n\ge 2.\]

Do đó chuỗi thứ hai phân kỳ.

Edited by An Infinitesimal, 10-05-2017 - 16:02.

[An Infinitesimal]

$\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n^{2}}.e^{n}}$ 

 

Đặt $a_n={\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n^{2}}.e^{n}}\, \forall n\in \mathbb{N}.$

Ta có $\sqrt[n]{a_n}= e \left( \frac{n+1}{n+2}\right)^n$ và $e^{\frac{1}{n}}>1+\frac{1}{n}>1+\frac{1}{n+1}.$

Suy ra $\sqrt[n]{a_n}>1 \forall n\in \mathbb{N}$ nên $a_n>1 \forall n\in \mathbb{N}.$

 

Do đó chuỗi trên phân kỳ.