Chủ đề này có 1 trả lời

[TenLaGi]

Giả sử A là một tập con của tập tự nhiên N. Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1 và phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A (x khác 1) đều tồn tại a,b sao cho x=a+b(a có thể =b). Tìm tập A có số phần tử nhỏ nhất

[IHateMath]

Gọi các phần tử của $A$ là $1=a_1<a_2<\dots <a_n=100$. Từ đề bài ta suy ra $a_{i+1}\leq 2a_i$ với mọi $i=2,3\dots ,n-1$. Vì vậy $a_n\leq 2^{n-1}\cdot a_1=2^{n-1}$, suy ra $n-1\geq 7$ hay $n\geq 8$. Giả sử $n=8$. Thế thì ta có $a_1=1,a_2=2,\dots a_7=2^6,a_8=100$. Tuy nhiên, $100$ không biểu diễn được dưới dạng $2^a+2^b$, do đó điều giả sử trên không xảy ra, tức là $n\geq 9$. Xét tập $A=\{ 1,2,4,8,16,32,36,64,100 \}$. Dễ kiểm tra tập này có tính chất ở đề bài và $|A|=9$. Đó chính là tập cần tìm.