Chủ đề này có 2 trả lời

[Ilovethobong]

Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x²+y²=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}$

[Cuongpa]

Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x²+y²=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}$

Ta có:

$P=(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\geq 2\sqrt{2}+\frac{4}{2(x+y)}$

Lại có, theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:

$x+y\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt{2}$

Do đó: 

$P\geq 3\sqrt{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 11-05-2017 - 00:22

[Hoang Dinh Nhat]

Cho x, y là các số thực dương và thỏa mãn x²+y²=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}$

Vì $x,y$ dương và $x^2+y^2=1$ nên $0<x,y<1$

Ta có BĐT phụ: $\frac{x^2+1}{x}\geq -\frac{x^2}{\sqrt{2}}+\frac{7\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow 2x^3+2\sqrt{2}x^2-7x+2\sqrt{2}\geq 0\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sqrt{2}-2x)^2(x+2\sqrt{2})\geq 0$ (luôn đúng)

Áp dụng BĐT trên, ta có: $P=x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}\geq \frac{-1}{\sqrt{2}}(x^2+y^2)+\frac{14\sqrt{2}}{4}=3\sqrt{2}$

Đạt tại: $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 11-05-2017 - 06:52