Chủ đề này có 3 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Tìm tất cả gái trị tham số $\alpha$ để hàm số $y=\frac{4}{3}.x^3 -2(1-\sin \alpha)x^2 -(1+\cos 2\alpha)x$ có cực trị

[chanhquocnghiem]

Bài toán : Tìm tất cả gái trị tham số $\alpha$ để hàm số $y=\frac{4}{3}.x^3 -2(1-\sin \alpha)x^2 -(1+\cos 2\alpha)x$ có cực trị

$y'=4x^2-4(1-\sin\alpha )x-(1+\cos2\alpha )=4x^2-4(1-\sin\alpha )x-2\cos^2\alpha$

Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y'=0$ có nghiệm và khi $x$ đi qua nghiệm đó thì $y'$ đổi dấu

$\Leftrightarrow$ phương trình $2x^2-2(1-\sin\alpha )x-\cos^2\alpha =0$ có $2$ nghiệm thực phân biệt.

$\Leftrightarrow (1-\sin\alpha )^2+2\cos^2\alpha > 0\Leftrightarrow \alpha \neq \frac{\pi}{2} +k.2\pi$

Vậy điều kiện để hàm đã cho có cực trị là $\alpha \neq \frac{\pi}{2} +k.2\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 12-05-2017 - 21:14

[caybutbixanh]

$y'=4x^2-4(1-\sin\alpha )x-(1+\cos2\alpha )=4x^2-4(1-\sin\alpha )x-2\cos^2\alpha$

Hàm số đã cho có cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y'=0$ có nghiệm và khi $x$ đi qua nghiệm đó thì $y'$ đổi dấu

$\Leftrightarrow$ phương trình $2x^2-2(1-\sin\alpha )x-\cos^2\alpha =0$ có $2$ nghiệm thực phân biệt.

$\Leftrightarrow (1-\sin\alpha )^2+2\cos^2\alpha > 0\Leftrightarrow \alpha \neq \frac{\pi}{2} +k.2\pi$

Vậy điều kiện để hàm đã cho có cực trị là $\alpha \neq \frac{\pi}{2} +k.2\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$)

Thưa chú, có điều này làm cháu vẫn chưa hiểu lắm : Tại sao trong trường hợp này $y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt vậy ạ ? Nếu chỉ có nghiệm thôi thì tại sao chưa đúng ?? Vì có cực trị chỉ cần $y'=0$ có nghiệm ( thường là vậy )..

[chanhquocnghiem]

Thưa chú, có điều này làm cháu vẫn chưa hiểu lắm : Tại sao trong trường hợp này $y'=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt vậy ạ ? Nếu chỉ có nghiệm thôi thì tại sao chưa đúng ?? Vì có cực trị chỉ cần $y'=0$ có nghiệm ( thường là vậy )..

Phương trình $y'=0$ trong trường hợp này là phương trình bậc hai.Nếu như nó chỉ có nghiệm kép, tức là 2 nghiệm trùng nhau và bằng $x_0$ thì có nghĩa là đồ thị của hàm $y'$ chỉ tiếp xúc với trục $Ox$ tại hoành độ $x_0$.Như vậy $y'$ không đổi dấu khi $x$ đi qua $x_0$.Cụ thể như trong bài này, nếu $y'$ có nghiệm kép thì $y'$ vẫn dương trước và sau khi $x$ đi qua $x_0$, do đó $y$ vẫn đơn điệu tăng (mà không có cực đại) khi $x$ đi qua giá trị $x_0$.