Chủ đề này có 2 trả lời

[vuthilan742]

trên trục số lấy 1 khoảng có độ dài 1/n với n∈∈ N∗∗. chứng minh rằng, trên khoảng này cóchứa không nhiều hơn (n + 1)/2 phân số tối giản dạng p/q, trong đó p,q ∈∈Z và 1≤≤q≤≤n

[lamNMP01]

Áp dụng tính chất của dãy Stern- Brocot

[redfox]

Nhận xét với số nguyên dương $1\leq q\leq n$, có nhiều nhất một số nguyên dương $p$ thỏa mãn $\frac{p}{q}$ nằm trong khoảng này. Giờ xét các số $q,2q,...,2^kq$ ($q$ lẻ, $k$ lớn nhất sao cho $2^kq\leq n$). Giả sử tồn tại số lớn nhất sao trong các số đó sao cho tồn tại phân số tối giản nhận nó làm mẫu số nằm trong khoảng này là $2^lq$. Gọi phân số đó là $\frac{p}{2^lq}$. Ta có với số nguyên dương $l< x\leq k$, $\frac{p}{2^lq}=\frac{p2^{x-l}}{2^xq}$ thuộc khoảng này. Theo như nhận xét trên, $p2^{x-l}$ là số nguyên dương duy nhất sao cho phân số có mẫu số $2^xq$ nhận nó làm tử số thuộc khoảng này, mà phân số này không tối giản. Vậy trong các phân số nhận một trong các số trên là mẫu số, tồn tại nhiều nhất một phân số nằm trong khoảng này.

Để ý có $\frac{n+1}{2}$ hoặc $\frac{n}{2}$ số lẻ nằm giữa $1$ và $n$, thay $q$ lần lượt bằng một trong các số trên, ta có nhiều nhất $\frac{n+1}{2}$ số thỏa mãn.

(Q.E.D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 02-06-2017 - 14:51