Cho hệ tọa độ $Oxyz$ mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng d: $\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$ và qua điểm $M(1;1;1)$ không thuộc $d$. Có hai đường $d_1$, $d_2$ thay đổi cùng đi qua $M$, tạo với nhau một góc $60^o$ và lần lượt cắt $d$ tại $A, B$ ($A$ khác $B$). Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $d$. $K$, $L$ theo thứ tự là hình chiếu của $H$ lên $MA, MB$. Biết $KL$ tiếp xúc với đường tròn cố định tâm $I$ bán kính $R$. Tính thể tích $V$ của khối tứ diện $OIKL$
A. $\frac{\sqrt{15}}{108}$
B. $\frac{\sqrt{15}}{36}$
C. $\frac{\sqrt{15}}{27}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{81}$
Gọi $J$ là trung điểm của $MH$.
$\measuredangle HKM=\measuredangle HLM=90^o\Rightarrow K,L$ thuộc đường tròn tâm $J$, bán kính $\frac{MH}{2}$.
Hơn nữa, $\measuredangle KML=60^o\Rightarrow \measuredangle KJL=120^o$
$\Rightarrow KL$ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm $I\equiv J$, bán kính $R=\frac{MH}{2}.\cos \frac{120^o}{2}$
Gọi $\beta$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$ $\Rightarrow (\beta ):2x+2y+z-5=0$
Tính tọa độ của $H$ :
$2(2t+3)+2(2t-1)+t-5=0\Rightarrow t=\frac{1}{9}\Rightarrow H\left ( \frac{29}{9};-\frac{7}{9};\frac{1}{9} \right )$
$\Rightarrow MH=\sqrt{\left ( \frac{20}{9} \right )^2+\left ( -\frac{16}{9} \right )^2+\left ( -\frac{8}{9} \right )^2}=\frac{4\sqrt{5}}{3}\Rightarrow IK=IL=\frac{2\sqrt{5}}{3}$
$S_{IKL}=\frac{1}{2}IK.IL.\sin KIL=\frac{5\sqrt{3}}{9}$
Điểm $C(3;-1;0)\in d$ $\Rightarrow \overrightarrow{MC}=(2;-2;-1)$
Vector chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u}=(2;2;1)$
$\Rightarrow (\alpha ):y-2z+1=0$
$d(O;(IKL))=d(O;(\alpha ))=\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow V_{OIKL}=\frac{1}{3}.\frac{5\sqrt{3}}{9}.\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{27}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 14-05-2017 - 10:49
