1) cho x,y,z là 3 số thay đổi thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ . tìm GTLN của
$P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}]$
2)cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi
tìm GTNN của $S=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}$
Bài 1:
Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2 \leqslant 1$
Do đó: $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}] \leqslant xy+yz+xz+\frac{1}{2}[(y-z)^{2}+(x-z)^{2}+(x-y)^{2}]=x^2+y^2+z^2=1$
Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=z$
Bài 2: Áp dụng BĐT: $\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2} \geqslant \dfrac{1}{a+ab}$(chứng minh bằng biến đổi tương đương)
Ta có: $P=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}=\frac{1}{\left ( 1+\frac{b}{a} \right )^2}+\frac{1}{\left ( 1+\frac{c}{b} \right )^2}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}\geq \frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\left ( \frac{\frac{b}{a}.\frac{c}{b}+1}{4}+\frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}} \right )-\frac{1}{4}\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$