Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangtan10122000]

Cho các số $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c>0$ . Chứng minh rằng

                                $\sum \frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq \frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trambau: 15-05-2017 - 07:36

[trambau]

Cho các số a,b,c không âm thỏa a+b+c >0

cmr:

                                    $\sum_{a}^{c}\frac{a^{2}}{2a^{2}+(b+c)^2)}$ $\leq$ 2/3

Ta chứng minh : $\frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq \frac{2a}{3(a+b+c)}$

Xét $a=0$ => BĐT luôn đúng

Xét $a>0$

$\frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}=\frac{2a^2}{4a^2+2(b+c)^2}\leq \frac{2a^2}{3a^2[a^2+2(b+c)^2]}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq \frac{2a^2}{3a^2+2\sqrt{2}a(b+c)}\leq \frac{2a^2}{3a^2+3a(b+c)}=\frac{2a}{3(a+b+c)}$

tương tự, từ đó suy ra

$\sum \frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq \frac{2(a+b+c)}{3(a+b+c)}=\frac{2}{3}$

[hoangtan10122000]

Tại sao $\frac{2a^{2}}{3a^{2}+2\sqrt{2}a(b+c)}\leq \frac{2a^{2}}{3a^{2}+3a(b+c)}$

 Nếu biến đổi tương đương thì:

$3a\leq 2\sqrt{2}a$

điều này là vô lý

Ngoài ra khi đó: Dấu "=" xảy ra khi $a\sqrt{2}=b+c$ và các hoán vị làm sao được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtan10122000: 16-05-2017 - 08:13

[manhhung2013]

Bài này chắc chuẩn hóa