\[\textbf{IRAN TST 2017}\]
$\text{Ngày thứ nhất}$
Bài 1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương với $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng
\[\frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right )\]
Bài 2. Có $13$ học sinh tham gia kỳ thi chọn đội $\text{IMO}$ của một quốc gia. Họ đã làm $6$ bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của $6$ bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội $\text{IMO}$ sẽ gồm $6$ học sinh).
Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$. Gọi $\omega $ là một đường tròn bất kỳ qua $A,I_a$ và cắt phần kéo dài của các cạnh $AB,AC$ (kéo dài từ $B,C$) tại $X,Y$ tương ứng. Gọi $S,T$ là các điểm trên các đoạn $I_aB,I_aC$ tương ứng sao cho $\angle AXI_a=\angle BTI_a$ và $\angle AYI_a=\angle CSI_a$. Các đường thẳng $BT,CS$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $KI_a,TS$ cắt nhau tại $Z$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng.
$\text{Ngày thứ hai}$
Bài 4. Gọi $P_i$ là số nguyên tố thứ $i$. Cho $n_1<n_2< \cdots$ là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi $i=1,2,3,\cdots$, phương trình $x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i}$ có nghiệm. Liệu các phương trình này có thể có nghiệm chung không?
Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $P,Q$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BP=CQ$ và $P$ nằm giữa $B,Q$. Đường tròn $(APQ)$ cắt các cạnh $AB,AC$ tại $E,F$ tương ứng. Điểm $T$ là giao điểm của $EP$ và $FQ$. Hai đường thẳng đi qua trung điểm của $BC$ và song song với $AB$, $AC$ cắt $EP$ và $FQ$ lần lượt tại $X,Y$. Chứng minh rằng $(TXY)$ tiếp xúc với $(APQ)$.
Bài 6. Trong các ô vuông con của một băng cỡ $1 \times 100$ ta viết một số nguyên dương thuộc $[100]$ sao cho dãy hình thành là dãy tăng từ trái qua phải. Gấp băng này theo dòng chứa nó theo một thứ tự tùy ý và hướng tùy ý cho đến khi sinh ra một băng cỡ $1 \times1$ có $100$ lớp, nhìn từ trên xuống ta sẽ thu được một hoán vị của $[100]$. Chứng minh rằng số các hoán vị hình thành theo cách này nằm giữa $2^{100}$ và $4^{100}$.
Người dịch: Nguyễn Trung Tuân
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 17-05-2017 - 21:25