Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán: cho mặt cầu tâm $O,$ bán kính $R.$ Xét mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $(C).$ Hình nón $(N)$ có đỉnh $S$ nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn $(C)$ và có chiều cao là $h (h>R).$ Tính $h$ để thể tích khối nón được tạo nên bởi $(N)$ có giá trị lớn nhất.

[chanhquocnghiem]

Bài toán: cho mặt cầu tâm $O,$ bán kính $R.$ Xét mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $(C).$ Hình nón $(N)$ có đỉnh $S$ nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn $(C)$ và có chiều cao là $h (h>R).$ Tính $h$ để thể tích khối nón được tạo nên bởi $(N)$ có giá trị lớn nhất.

Gọi khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d$ ($0\leqslant d\leqslant R$), bán kính đường tròn $(C)$ là $r$, thể tích khối nón $(N)$ là :

$V=\frac{\pi}{3} r^2h=\frac{\pi}{3}(R^2-d^2)(R+d)=\frac{\pi}{3}(-d^3-Rd^2+R^2d+R^3)$

$V'(d)=\frac{\pi}{3}(-3d^2-2Rd+R^2)$

$V'(d)=0\Leftrightarrow d=\frac{R}{3}$

+ $V(0)=\frac{\pi}{3}\ R^3$ (1)

+ $V\left ( \frac{R}{3} \right )=\frac{32\ \pi}{81}\ R^3$ (2)

+ $V(R)=0$ (3)

So sánh (1),(2),(3), ta thấy $V$ đạt GTLN $\Leftrightarrow d=\frac{R}{3}\Leftrightarrow h=\frac{4}{3}\ R$.