Chủ đề này có 1 trả lời

[caybutbixanh]

Bài toán : Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left | z+2-i \right |+\left |z-4-7i\right|=6.\sqrt{2}.$ Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của $\left |z-1+i \right|.$ Tính $P =m +M.$

[chanhquocnghiem]

Bài toán : Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left | z+2-i \right |+\left |z-4-7i\right|=6.\sqrt{2}.$ Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của $\left |z-1+i \right|.$ Tính $P =m +M.$

Đặt $z_1=z+2-i$ ; $z_2=z-4-7i$ ; $z_3=z-1+i$

Gọi các điểm biểu diễn các số phức $z,z_1,z_2,z_3$ lần lượt là $A,A_1,A_2,A_3$

Ta có : $\overrightarrow{A_1A_2}=(-4-2;-7-(-1))=(-6;-6)\Rightarrow A_1A_2=6\sqrt{2}$ và vector chỉ phương của $A_1A_2$ là $\overrightarrow{a}=(1;1)$

Theo đề bài $OA_1+OA_2=6\sqrt{2}=A_1A_2\Rightarrow A_1,O,A_2$ thẳng hàng ($O$ nằm giữa và có thể trùng với $A_1$ hoặc $A_2$)

Suy ra tập hợp các điểm $A_1$ là đoạn thẳng :

$\left\{\begin{matrix}x-y=0\\0\leqslant x\leqslant 6 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ tập hợp các điểm $A$ là đoạn thẳng :

$\left\{\begin{matrix}x-y+3=0\\-2\leqslant x\leqslant 4 \end{matrix}\right.$

Và tập hợp các điểm $A_3$ là đoạn thẳng :

$\left\{\begin{matrix}x-y+5=0\\-3\leqslant x\leqslant 3 \end{matrix}\right.$ (*)

$m$ chính là khoảng cách từ $O$ đến đoạn thẳng (*) ---> $m=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$M$ chính là khoảng cách từ $O$ đến điểm $(3,8)$ ---> $M=\sqrt{73}$

$\Rightarrow P=\frac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}$.