Olympic Toán Châu Á - Thái Bình Dương 2017 lần thứ XXIX
Tháng ba, 2017
Thời gian làm bài: 4 tiếng Số điểm mỗi bài toán là 7
Các bài toán phải được giữ bí mật cho đến khi chúng được đăng lên ở đây: http://apmo.ommenlinea.org/.
Không được tiết lộ cũng như trao đổi về các bài toán trên internet cho đến khi đó. Thí sinh không được sử dụng máy tính.
$\text{Bài toán 1}$. Ta gọi một bộ $5$ số nguyên là sắp xếp được nếu các phần tử của nó có thể được đánh dấu $a,b,c,d,e$ theo một thứ tự nào đó sao cho $a-b+c-d+e=29$. Xác định tất cả các bộ $2017$ số nguyên $n_1,n_2,\dots ,n_{2017}$ sao cho nếu ta đặt chúng lên đường tròn theo chiều kim đồng hồ thì bất kỳ bộ $5$ số nguyên liên tiếp nào cũng sắp xếp được.
$\text{Bài toán 2}$. Cho tam giác $ABC$ với $AB<AC$. Gọi $D$ là giao điểm của đường phân giác trong góc $BAC$ và đường tròn ngoại tiếp của $ABC$. Gọi $Z$ là giao điểm của đường trung trực của $AC$ với đường phân giác ngoài của góc $BAC$. Chứng minh rằng trung điểm của $AB$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ADZ$.
$\text{Bài toán 3}$. Gọi $A(n)$ là số dãy số nguyên $a_1\geq a_2\geq\dots\geq a_k$ sao cho $a_1+\cdots +a_k=n$ và mỗi $a_i+1$ là một lũy thừa của hai ($i=1,2,\dots ,k$). Gọi $B(n)$ là số dãy số nguyên $b_1\geq b_2\geq \dots \geq b_m$ sao cho $b_1+b_2+\cdots +b_m=n$ và mỗi bất đẳng thức $b_j\geq 2b_{j+1}$ xảy ra ($j=1,2,\dots ,m-1$).
Chứng minh rằng $A(n)=B(n)$ với mọi số nguyên dương $n$.
$\text{Bài toán 4}$. Gọi một số hữu tỷ $r$ là mạnh mẽ nếu $r$ có thể được biểu diễn dưới dạng $\frac{p^k}{q}$ với các số nguyên dương $p,q$ nguyên tố cùng nhau và số nguyên dương $k>1$. Gọi $a,b,c$ là các số hữu tỷ dương sao cho $abc=1$. Giả sử rằng tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $a^x+b^y+x^z$ là một số nguyên. Chứng minh rằng $a,b,c$ đều mạnh mẽ.
$\text{Bài toán 5}$. Cho số nguyên dương $n$. Một cặp các bộ $n$ số nguyên dương $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ và $(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ được gọi là một cặp đẹp nếu $$|a_1b_1+\cdots +a_nb_n|\leq 1.$$
Xác định số lớn nhất các bộ $n$ số nguyên dương phân biệt sao cho cứ hai cặp hai bộ bất kỳ là một cặp đẹp.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 16-05-2017 - 21:27