Chủ đề này có 5 trả lời

[manhhung2013]

Cho số nguyên tố p>3 và m,n là hai số nguyên tố cùng nhau sao cho $\frac{m}{n}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{(p-1)^{2}}$. Chứng minh rằng: m chia hết cho p.

[lamNMP01]

$\frac{m}{n}=\frac{1}{1^{2k}}+\frac{1}{2^{2k}}+\frac{1}{3^{2k}}+...+\frac{1}{(p-1)^{2k}}$ thì kết quả trên vẫn đúng với điều kiện 2k không phải ước p-1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 16-05-2017 - 19:31

[manhhung2013]

$\frac{m}{n}=\frac{1}{1^{2k}}+\frac{1}{2^{2k}}+\frac{1}{3^{2k}}+...+\frac{1}{(p-1)^{2k}}$ thì kết quả trên vẫn đúng với điều kiện 2k không phải ước p-1

Quan trọng là đáp án nó như thế nào

[duylax2412]

Chứng minh bổ đề sau: 

$\frac{x}{y}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1}$ thì $x\vdots p \forall p>2$ và $(x,y)=1$

(Nhóm hạng tử xuất hiện thừa số p là xong)

Trở lai bài toán,ta có:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{(p-1)^2}=(\frac{1}{1}+\frac{1}{p-1})^2-2\frac{1}{1(p-1)}=\frac{p^2}{1^2(p-1)^2}-2\frac{1}{1(p-1)}$

Tương tự, công lại ta có:

$\frac{m}{n}=\sum\frac{p^2}{i^2(p-i)^2}-2\sum \frac{1}{i(p-i)}=\sum\frac{p^2}{i^2(p-i)^2}-2\frac{q}{(p-1)!}$

(trong đó: $q\in N^{+}$ và $q=\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+...+\frac{(p-1)!}{p-1}$

$\rightarrow m(p-1)!^2=p^2kn-2qn(p-1)!$

Bài toán được giải quyết nếu ta chứng minh: $q\vdots p$

Do: $q=(p-1)!(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1})=(p-1)!\frac{x}{y} \rightarrow qy=(p-1)!x\vdots p$

Mà (y,p)=1  ( do $(x,y)=1;x\vdots p$)

Suy ra: $q\vdots p$. Từ đó có đpcm.

[duylax2412]

Còn bài toán tổng quát,em nghĩ dùng quy nạp để chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 18-05-2017 - 10:04

[manhhung2013]

Chứng minh bổ đề sau: 

$\frac{x}{y}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1}$ thì $x\vdots p \forall p>2$ và $(x,y)=1$

(Nhóm hạng tử xuất hiện thừa số p là xong)

Trở lai bài toán,ta có:

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{(p-1)^2}=(\frac{1}{1}+\frac{1}{p-1})^2-2\frac{1}{1(p-1)}=\frac{p^2}{1^2(p-1)^2}-2\frac{1}{1(p-1)}$

Tương tự, công lại ta có:

$\frac{m}{n}=\sum\frac{p^2}{i^2(p-i)^2}-2\sum \frac{1}{i(p-i)}=\sum\frac{p^2}{i^2(p-i)^2}-2\frac{q}{(p-1)!}$

(trong đó: $q\in N^{+}$ và $q=\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+...+\frac{(p-1)!}{p-1}$

$\rightarrow m(p-1)!^2=p^2kn-2qn(p-1)!$

Bài toán được giải quyết nếu ta chứng minh: $q\vdots p$

Do: $q=(p-1)!(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1})=(p-1)!\frac{x}{y} \rightarrow qy=(p-1)!x\vdots p$

Mà (y,p)=1  ( do $(x,y)=1;x\vdots p$)

Suy ra: $q\vdots p$. Từ đó có đpcm.

Cách giải hay đấy, em tự nghĩ ra à?