Cho số nguyên tố p>3 và m,n là hai số nguyên tố cùng nhau sao cho $\frac{m}{n}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{(p-1)^{2}}$. Chứng minh rằng: m chia hết cho p.
$\frac{m}{n}=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{(p-1)^{2}
#1
Đã gửi 16-05-2017 - 11:16
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
#2
Đã gửi 16-05-2017 - 19:30
$\frac{m}{n}=\frac{1}{1^{2k}}+\frac{1}{2^{2k}}+\frac{1}{3^{2k}}+...+\frac{1}{(p-1)^{2k}}$ thì kết quả trên vẫn đúng với điều kiện 2k không phải ước p-1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 16-05-2017 - 19:31
#3
Đã gửi 16-05-2017 - 23:23
$\frac{m}{n}=\frac{1}{1^{2k}}+\frac{1}{2^{2k}}+\frac{1}{3^{2k}}+...+\frac{1}{(p-1)^{2k}}$ thì kết quả trên vẫn đúng với điều kiện 2k không phải ước p-1
Quan trọng là đáp án nó như thế nào
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
#4
Đã gửi 18-05-2017 - 09:56
Chứng minh bổ đề sau:
$\frac{x}{y}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1}$ thì $x\vdots p \forall p>2$ và $(x,y)=1$
(Nhóm hạng tử xuất hiện thừa số p là xong)
Trở lai bài toán,ta có:
$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{(p-1)^2}=(\frac{1}{1}+\frac{1}{p-1})^2-2\frac{1}{1(p-1)}=\frac{p^2}{1^2(p-1)^2}-2\frac{1}{1(p-1)}$
Tương tự, công lại ta có:
$\frac{m}{n}=\sum\frac{p^2}{i^2(p-i)^2}-2\sum \frac{1}{i(p-i)}=\sum\frac{p^2}{i^2(p-i)^2}-2\frac{q}{(p-1)!}$
(trong đó: $q\in N^{+}$ và $q=\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+...+\frac{(p-1)!}{p-1}$
$\rightarrow m(p-1)!^2=p^2kn-2qn(p-1)!$
Bài toán được giải quyết nếu ta chứng minh: $q\vdots p$
Do: $q=(p-1)!(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1})=(p-1)!\frac{x}{y} \rightarrow qy=(p-1)!x\vdots p$
Mà (y,p)=1 ( do $(x,y)=1;x\vdots p$)
Suy ra: $q\vdots p$. Từ đó có đpcm.
- manhhung2013 và NHoang1608 thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
#5
Đã gửi 18-05-2017 - 09:57
Còn bài toán tổng quát,em nghĩ dùng quy nạp để chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 18-05-2017 - 10:04
- manhhung2013 yêu thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
#6
Đã gửi 18-05-2017 - 16:34
Chứng minh bổ đề sau:
$\frac{x}{y}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1}$ thì $x\vdots p \forall p>2$ và $(x,y)=1$
(Nhóm hạng tử xuất hiện thừa số p là xong)
Trở lai bài toán,ta có:
$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{(p-1)^2}=(\frac{1}{1}+\frac{1}{p-1})^2-2\frac{1}{1(p-1)}=\frac{p^2}{1^2(p-1)^2}-2\frac{1}{1(p-1)}$
Tương tự, công lại ta có:
$\frac{m}{n}=\sum\frac{p^2}{i^2(p-i)^2}-2\sum \frac{1}{i(p-i)}=\sum\frac{p^2}{i^2(p-i)^2}-2\frac{q}{(p-1)!}$
(trong đó: $q\in N^{+}$ và $q=\frac{(p-1)!}{1}+\frac{(p-1)!}{2}+...+\frac{(p-1)!}{p-1}$
$\rightarrow m(p-1)!^2=p^2kn-2qn(p-1)!$
Bài toán được giải quyết nếu ta chứng minh: $q\vdots p$
Do: $q=(p-1)!(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{p-1})=(p-1)!\frac{x}{y} \rightarrow qy=(p-1)!x\vdots p$
Mà (y,p)=1 ( do $(x,y)=1;x\vdots p$)
Suy ra: $q\vdots p$. Từ đó có đpcm.
Cách giải hay đấy, em tự nghĩ ra à?
đừng nghĩ LIKE và LOVE giống nhau...
giữa LIKE và LOVE chữ cái I đã chuyển thành O,tức là Important:quan trọng đã trở thành Only:duy nhất.
chữ cái K đã chuyển thành V:Keen:say mê đã trở thành Vascurla :ăn vào mạch máu.
vì thế đừng hỏi tại sao
lim(LIKE)=LOVE nhưng lim(LOVE) =∞
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh