Đến nội dung

Hình ảnh

$cos \frac{A}{2} +cos \frac{B}{2} +cos \frac{C}{2} \leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Tri369

Tri369

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết

$cos \frac{A}{2} +cos \frac{B}{2} +cos \frac{C}{2} \leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$



#2
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Có 

\begin{align*} \cos  \dfrac{A}{2} + \cos \dfrac{B}{2} +\cos \dfrac{C}{2} &= \left(\cos \dfrac{A}{2}+\cos \dfrac{B}{2}\right) + \left(\cos \dfrac{C}{2} +\cos \dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ & = 2\left[\cos \dfrac{A+B}{4} \cos \dfrac{A-B}{4} + \cos \left(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12}\right) \cos \left(\dfrac{C}{4}-\dfrac{\pi}{12}\right)\right] -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ & \leqslant 2\left[\cos \dfrac{A+B}{4} + \cos \left(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12}\right) \right] -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{(vì $\dfrac{A+B}{4}$ và $\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi}{12}$ là các góc nhọn)} \\ &=4\cos \left(\dfrac{A+B+C}{8}+\dfrac{\pi}{24}\right) \cos \left(\dfrac{A+B-C}{8}-\dfrac{\pi}{24}\right) -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ & =4\cos \dfrac{\pi}{6} \cos \left(\dfrac{A+B-C}{8}-\dfrac{\pi}{24}\right) -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ & = 2\sqrt{3} \cos \left(\dfrac{A+B-C}{8}-\dfrac{\pi}{24}\right) -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\& \leqslant 2\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\end{align*}

 

Đẳng thức xảy ra khi tam giác $ABC$ đều.


$$\text{Vuong Lam Huy}$$




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh