Chủ đề này có 6 trả lời

[Thoang0913]

Cho hai phương trình: $2x^3+2x^2+5x+2017=0$ và $2x^3-8x^2+15x-2026=0$. 

a) Chứng minh rằng mỗi phương trình trên đều có đúng $1$ nghiệm.

b) Tìm tổng của $2$ nghiệm đó. 

[huykinhcan99]

Cho hai phương trình: $2x^3+2x^2+5x+2017=0$ và $2x^3-8x^2+15x-2026=0$. 

a) Chứng minh rằng mỗi phương trình trên đều có đúng $1$ nghiệm.

b) Tìm tổng của $2$ nghiệm đó. 

 

(a) Xét $f(x)=2x^3+2x^2+5x+2017$ trên $\mathbb{R}$. Ta có ngay $f'(x)=6x^2+4x+5=6\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{13}{3}>0$. Vậy $f(x)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó phương trình $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất.

Hoàn toàn tương tự, nếu xét $g(x)=2x^3-8x^2+15x-2026$ trên $\mathbb{R}$ thì ta có ngay $g'(x)=6x^2-16x+15=6\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^2+\dfrac{13}{3}>0$. Vậy $g(x)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó phương trình $g(x)=0$ có nghiệm duy nhất.

 

(b) Gọi $x_1$ và $x_2$ theo thứ tự là nghiệm của phương trình $2x^3+2x^2+5x+2017=0$ và $2x^3-8x^2+15x-2026=0$. Khi đó ta có

\begin{align*} &\phantom{\iff~} \left(2x_1^3+2x_1^2+5x_1+2017\right)+\left(2x_2^3-8x_2^2+15x_2-2026\right)=0\\ &\iff \left[2\left(x_1+\dfrac{1}{3}\right)^3+\dfrac{13}{3}\left(x_1+\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{54418}{27}\right]+\left[2\left(x_2-\dfrac{4}{3}\right)^3+\dfrac{13}{3}\left(x_2-\dfrac{4}{3}\right)-\dfrac{54418}{27}\right]=0\\ &\iff 2\left[\left(x_1+\dfrac{1}{3}\right)^3+\left(x_2-\dfrac{4}{3}\right)^3\right]+\dfrac{13}{3}\left[\left(x_1+\dfrac{1}{3}\right)+\left(x_2-\dfrac{4}{3}\right)\right]=0\\ &\iff 2\left(x_1+x_2-1\right)\left[\left(x_1+\dfrac{1}{3}\right)^2-\left(x_1+\dfrac{1}{3}\right)\left(x_2-\dfrac{4}{3}\right)+\left(x_2-\dfrac{4}{3}\right)^2\right]+\dfrac{13}{3}\left(x_1+x_2-1\right)=0\\ &\iff \left(x_1+x_2-1\right)\left\{2\left[\left(x_1+\dfrac{1}{3}\right)^2-\left(x_1+\dfrac{1}{3}\right)\left(x_2-\dfrac{4}{3}\right)+\left(x_2-\dfrac{4}{3}\right)^2\right]+\dfrac{13}{3}\right\}=0\\ &\iff \left(x_1+x_2-1\right)\left[2\left(x_1-\dfrac{x_2}{2}+1\right)^2+\dfrac{3}{2}\left(x_2-\dfrac{4}{3}\right)^2+\dfrac{13}{3}\right]=0\\ &\iff x_1+x_2=1 \end{align*}

[Element hero Neos]

Cho hai phương trình: $2x^3+2x^2+5x+2017=0$ và $2x^3-8x^2+15x-2026=0$. 

a) Chứng minh rằng mỗi phương trình trên đều có đúng $1$ nghiệm.

b) Tìm tổng của $2$ nghiệm đó. 

a, Chứng minh cho một phương trình nhé, cái sau tương tự

Đặt $f(x)=2x^3+2x^2+5x+2017$.

Ta có $f(-11)<0$ và $f(-10)>0$, suy ra phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm thuộc khoảng $(-11,-10)$.

Gọi nghiệm đó của phương trình là $a$, giả sử còn một nghiệm nữa là $b$

Ta sẽ có $2a^3+2a^2+5a+2017=2b^3+2b&2+5b+2017=0$

Suy ra $2(a^3-b^3)+2(a^2-b^2)+5(a-b)=0$

Hay $(a-b)(2a^2+2ab+2b^2+2a+2b+5)=0$

Dễ thấy $2a^2+2ab+2b^2+2a+2b+5=(a+b)^2+(a+1)^2+(b+1)^2+3>0$ nên phương trình trên chỉ xảy ra khi $a=b$, tức $2$ nghiệm đó trùng nhau

Vậy phương trình trên chỉ có một nghiệm.

Cmtt ta có đpcm.

b, Gọi nghiệm của $2$ phương trình là a và b.

Ta thử thấy $a+b=1$ nên ta sẽ thay $x$ bằng $1-a$ vào pt thứ $2$ rồi rút gọn thì được $1-a$ là nghiệm, tức $1-a=b$.

Vậy $a+b=1$ 

[Baoriven]

Câu b:

Gọi $x_1,x_2$ lần lượt là $2$ nghiệm của PT theo thứ tự viết trên.

Nếu bạn nào tinh ý có thể biến đổi tương đương $PT2$ thành

$2(1-x_2)^3+2(1-x_2)^2+5(1-x_2)+2017=0$

mà $PT1$ có nghiệm duy nhất nên $1-x_2=x_1$.

Do đó: $x_1+x_2=1$.

[An Infinitesimal]

Câu b:

Gọi $x_1,x_2$ lần lượt là $2$ nghiệm của PT theo thứ tự viết trên.

Nếu bạn nào tinh ý có thể biến đổi tương đương $PT2$ thành

$2(1-x_2)^3+2(1-x_2)^2+5(1-x_2)+2017=0$

mà $PT1$ có nghiệm duy nhất nên $1-x_2=x_1$.

Do đó: $x_1+x_2=1$.

 

Chúng ta có cách nào để biến sự 'tinh ý' đó thành điều dễ dàng mà không cần tinh ý hay không?

[Baoriven]

Viết lại $PT2$ như sau: $-2x^3+8x^2-15x+2026=0$.

Lấy $PT1$ coi như PT gốc, do cần tính $x_1+x_2=k$.

Đặt $x_1=k-x_2$.

Khi đó: $k$ là nghiệm của PT: $2k^3+2k^2+5k=2026-2017$.

Suy ra $k=1$. 

[An Infinitesimal]

Hãy còn phức tạp lắm Baoviren !

 

Just for fun!