Cho ab + bc + ca = abc
Chứng minh:
$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\geqslant \frac{a+b+c}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangqxdang: 19-05-2017 - 10:48
$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\geqslant \frac{a+b+c}{4}$
Bắt đầu bởi dangqxdang, 19-05-2017 - 10:41
#2
Đã gửi 19-05-2017 - 10:57
NHoang1608
-
- Thành viên
-
- 375 Bài viết
Sĩ quan
Cho ab + bc + ca = abc
Chứng minh:
$\frac{a^{2}}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\geqslant \frac{a+b+c}{4}$
Ta có $\sum \frac{a^{2}}{a+bc}= \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+abc}= \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+bc+ca} = \sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}$
Áp dụng bđt $AM-GM$ thì ta có $\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)} + \frac{a+b}{8} +\frac{a+c}{8} \geq \sqrt[3]{\frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}= \frac{3a}{4}$
$\Rightarrow \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)} \geq \frac{3a}{4} - \frac{a+b}{8} - \frac{a+c}{8}$
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{(a+b)(a+c)} \geq \sum \frac{3a}{4} - \sum \frac{a+b}{8} - \sum \frac{a+c}{8} = \sum \frac{a}{4}$
$\Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a+bc} \geq \sum \frac{a}{4}$
Điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 19-05-2017 - 10:58
- manhhung2013 yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
