Bosnia 2008: Cho $x,y,z$ là các số thực. Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \geq max \left \{ \frac{3(x-y)^{2}}{4}; \frac{3(y-z)^{2}}{4}; \frac{3(z-x)^{2}}{4} \right \}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 20-05-2017 - 00:32
$x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \geq max \left \{ \frac{3(x-y)^{2}}{4}; \frac{3(y-z)^{2}}{4}\right \}$
Bắt đầu bởi Drago, 20-05-2017 - 00:30
#2
Đã gửi 20-05-2017 - 00:44
Cuongpa
-
- Thành viên
-
- 238 Bài viết
Thượng sĩ
Bosnia 2008: Cho $x,y,z$ là các số thực. Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \geq max \left \{ \frac{3(x-y)^{2}}{4}; \frac{3(y-z)^{2}}{4}; \frac{3(z-x)^{2}}{4} \right \}$
Nếu $\left | x-y \right |=max\left \{ \left | x-y \right |,\left | y-z \right |,\left | z-x \right | \right \}$
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
$4x^2+4y^2+4z^2-4xy-4yz-4zx\geq 3x^2-6xy+3y^2$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+4z^2+2xy-4yz-4zx\geq 0\Leftrightarrow (x+y-2z)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Hai trường hợp còn lại tương tự
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra khi một trong $3$ điều kiện sau được thỏa mãn
- $x+y=2z$
- $y+z=2x$
- $z+x=2y$
- manhhung2013, Saitohsuzuko001, Nghiapnh1002 và 1 người khác yêu thích
Success doesn't come to you. You come to it.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
