Chủ đề này có 1 trả lời

[Nxb]

Mình gặp phải cái này khi đọc chứng minh định lý đơn vị trong sách của Milne (tác giả không nói ra, nhưng mình nghĩ cần được chứng minh cẩn thận). Cho $G$ là một nhóm aben hữu hạn sinh. Khi đó,

 

1. Nếu nhóm thương $G/H$ là một nhóm aben tự do thì $H$ là hữu hạn sinh.

 

2. Giả sử rằng 2 nhóm con xoắn của $G$ và $H$ trùng nhau. Khi ấy, $r(G)-r(H)=r(G/H)$.

 

Đây là những điều mình dự đoán xảy ra trong trường hợp tổng quát dựa vào chứng minh ấy, có thể đúng hoặc sai.

[bangbang1412]

Mình gặp phải cái này khi đọc chứng minh định lý đơn vị trong sách của Milne (tác giả không nói ra, nhưng mình nghĩ cần được chứng minh cẩn thận). Cho $G$ là một nhóm aben hữu hạn sinh. Khi đó,

 

1. Nếu nhóm thương $G/H$ là một nhóm aben tự do thì $H$ là hữu hạn sinh.

 

2. Giả sử rằng 2 nhóm con xoắn của $G$ và $H$ trùng nhau. Khi ấy, $r(G)-r(H)=r(G/H)$.

 

Đây là những điều mình dự đoán xảy ra trong trường hợp tổng quát dựa vào chứng minh ấy, có thể đúng hoặc sai.

Em kí hiệu $\mathrm{Torsion}(A)$ là nhóm torsion của $A$ , không nên nhầm lẫn với hàm tử $\mathrm{Tor}$ 

Dãy sau đây khớp theo ánh xạ tự nhiên : 

$$ 0 \to H \to G \to G/H \to 0$$

Rõ ràng chia cho các nhóm con xoắn nó vẫn khớp :

$$0 \to H/ \mathrm{Torsion}(H) \to G/ \mathrm{Torsion}(G) \to (G/H) / \mathrm{Torsion}(G/H) \to 0$$

 Ta có $(G/H) / \mathrm{Torsion}(G/H)$ là abel tự do nên dãy khớp chẻ tức là $\mathrm{rank}(G) - \mathrm{rank}(H) = \mathrm{rank}(G/H)$$

Còn phần đầu em không rõ lắm , hoặc là anh nhầm với cái $H$ là nhóm con nhóm abel tự do hữu hạn sinh $G$ thì $H$ cũng abel tự do hữu hạn sinh với hạng không quá hạng của $G$ , nhưng rõ ràng em không thấy là điều kiện hai nhóm xoắn ở phần $2$ có ý nghĩa gì cả. 

Em không muốn tính tay ở đây cho cái dãy khớp thương kia nên em cứ ghi vậy còn nếu bình thg em sẽ cm ntn  

Trước hết nếu $A$ là một nhóm Torsion tức là mọi phần tử có cấp hữu hạn thì $A \otimes_{Z} Q = 0$ . Và $A \otimes Q \cong A / \mathrm{Torsion}(A)$ là một không gian vector . Xét một dãy khớp : 

$$ 0 \to A" \to A \to A' \to 0$$

Tensor với $Q$ ta có :

$$0 \to A'' \otimes Q \to A \otimes Q \to A' \otimes Q \to 0$$ 

Tính chất này có được do dãy khớp dài của hàm tử $Tor$ và $\otimes $ với cả $Q$ là torsion free :

$$0 \to \mathrm{Tor}(A'' \otimes Q ) \to \mathrm{Tor}(A \otimes Q) \to \mathrm{Tor}(A' \otimes Q) \to A'' \otimes Q \to A \otimes Q \to A' \otimes Q \to 0$$

$$\mathrm{Tor}(A' \otimes Q) = 0$$

 

Khi đó do nó được trang bị một ctruc kg vector nên 

$$\mathrm{dim}(A \otimes Q ) = \mathrm{dim}(A' \otimes Q) + \mathrm{dim}(A'' \otimes Q)$$

$$\mathrm{dim}(A \otimes Q) = \mathrm{rank}(A)$$

Đây là đpcm . 

Còn khi $G/H$ là abel tự do thì dãy khớp luôn trẻ nên $G = H \times G / H$ hiển nhiên $\mathrm{Torsion}(G) = \mathrm{Torsion}(H)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 21-05-2017 - 12:05