$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho cả hai số $x^2+y$ và $y^2+x$ đều chia hết cho $x^2+y^2$
$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho cả hai số $x^2+y$ và $y^2+x$ đều chia hết cho $x^2+y^2$
$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho cả hai số $x^2+y$ và $y^2+x$ đều chia hết cho $x^2+y^2$
Bài 2. Hình như đề là $x^{3}+y$ chứ.
My solution.
Đầu tiên ta chứng minh $(x;y)=1$. Thật vậy
Ta có $(x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+y) \Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+xy^{2}+y-xy^{2})$
$\Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid [y(xy-1)]$
Gọi $(x;y)=d \Rightarrow x=dx_{1} , y=dy_{1}$ và $(x_{1};y_{1})=1$
Ta có $d^{2}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}d(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$
$\Rightarrow d(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$
$\Rightarrow d \mid y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$
Ta có: $x^{2}+y^{2} \mid x(xy-1)$ , $x^{2}+y^{2} \mid y(xy-1)$
$\Rightarrow (x^{2}+y^{2})^{2} \mid xy(xy-1)^{2}$
Mặt khác $(x^{2}+y^{2};xy)=1$ cho nên $(x^{2}+y^{2})^{2} \mid (xy-1)^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2} \mid xy-1$
i) Xét $xy=1$ thì dễ suy ra nghiệm
ii) Xét $xy \not{=} 1$ thì $ \left | xy-1 \right |\geq \left | x^{2}+y^{2} \right |$
$\Rightarrow \left | xy-1 \right |\geq \left | 2xy \right |$
- Xét $xy>1$ suy ra $xy-1 \geq 2xy \Rightarrow -1\geq xy$ (vô lí).
- Xét $xy< 1$ suy ra $1-xy \geq -2xy \Rightarrow 1+xy \geq 0 \Rightarrow xy\geq -1$
$\Rightarrow xy=0$ hoặc $xy=-1$ đến đây dễ suy ra nghiệm.
Tóm lại bài toán có các nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(1;1) ; (-1;1) ; (1;-1) ; (0;1) ; (1;0)$
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
Mình xin chém bài 2:
Do $x^2+y$ và $y^2+x$ chia hết cho $x^2+y^2=>x^2+y^2+x+y$ chia hết $x^2+y^2=>x+y$ chia hết cho $x^2+y^2$.
Đặt $x+y=k(x^2+y^2)$ ($k$ nguyên)
$=>kx^2-x-y+ky^2=0$$=>\Delta =1^2-4k(-y+ky^2)=1+4ky-4k^2y^2$
Đặt $ky=t$($t$ nguyên)$=>\Delta=1+4t-4t^2$Để phương trình có nghiệm nguyên $=>\Delta$ phải là số chính phương và $\Delta$ lớn hơn hoặc bằng $0$.
Đến đây thì dễ rồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 21-05-2017 - 11:24
I Love $\sqrt{MF}$
Bài 2. Hình như đề là $x^{3}+y$ chứ.
My solution.
Đầu tiên ta chứng minh $(x;y)=1$. Thật vậy
Ta có $(x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+y) \Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid (x^{3}+xy^{2}+y-xy^{2})$
$\Rightarrow (x^{2}+y^{2}) \mid [y(xy-1)]$
Gọi $(x;y)=d \Rightarrow x=dx_{1} , y=dy_{1}$ và $(x_{1};y_{1})=1$
Ta có $d^{2}(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}d(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$
$\Rightarrow d(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}) \mid y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$
$\Rightarrow d \mid y_{1}(d^{2}x_{1}y_{1}-1)$
Mà $(d^{2}x_{1}y_{1}-1 ; d) =1$ suy ra $d\mid y_{1}$Tương tự với giả thiết $x^{2}+y^{2} \mid (y^{3}+x)$ thì ta cũng có được $d\mid x_{1}$Từ đó suy ra $d=1$ vì $(x_{1};y_{1})=1$ cho nên $(x;y)=1$Suy ra $(xy;x^{2}+y^{2})=1$Ta có: $x^{2}+y^{2} \mid x(xy-1)$ , $x^{2}+y^{2} \mid y(xy-1)$
$\Rightarrow (x^{2}+y^{2})^{2} \mid xy(xy-1)^{2}$
Mặt khác $(x^{2}+y^{2};xy)=1$ cho nên $(x^{2}+y^{2})^{2} \mid (xy-1)^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2} \mid xy-1$
i) Xét $xy=1$ thì dễ suy ra nghiệm
ii) Xét $xy \not{=} 1$ thì $ \left | xy-1 \right |\geq \left | x^{2}+y^{2} \right |$
$\Rightarrow \left | xy-1 \right |\geq \left | 2xy \right |$
- Xét $xy>1$ suy ra $xy-1 \geq 2xy \Rightarrow -1\geq xy$ (vô lí).
- Xét $xy< 1$ suy ra $1-xy \geq -2xy \Rightarrow 1+xy \geq 0 \Rightarrow xy\geq -1$
$\Rightarrow xy=0$ hoặc $xy=-1$ đến đây dễ suy ra nghiệm.
Tóm lại bài toán có các nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(1;1) ; (-1;1) ; (1;-1) ; (0;1) ; (1;0)$
Bài này đúng là $x^2+y$ đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 21-05-2017 - 11:27
I Love $\sqrt{MF}$
Bài này là $x^2+y$ đó
Vậy thì bài này xử lí dễ dàng.
Từ giả thiết suy ra $x^{2}+y^{2} \mid x+y$
Xét $x=-y$ thì suy ra nghiệm.
Xét $x \not{-y}$ suy ra $\left | x+y \right | \geq x^{2}+y^{2} \geq \frac{(x+y)^{2}}{2}$
$\Rightarrow 2 \geq \left | x+y \right |$
Suy ra $(x+y) \in {1;2;-1;-1}$ thay vào thì dễ dàng có nghiệm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 21-05-2017 - 11:30
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) sao cho cả hai số $x^2+y$ và $y^2+x$ đều chia hết cho $x^2+y^2$
q
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 21-05-2017 - 12:14
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
Em xin làm bài 1:
Dễ thấy:$x,y>0$
Phương trình viết lại: $85^x=(y^2+2y+2)(y^2-2y+2)$
Gọi: $d=UCLN(y^2+2y+2,y^2-2y+2)$. Từ phương trình đầu cho ta y lẻ nên d cũng lẻ
Suy ra: $4y\vdots d \rightarrow y\vdots d \rightarrow 2\vdots d\rightarrow d=1$
Và: $85=17.5$ với 5;17 nguyên tố.Do đó: $y^2-2y+2=5^x$(1) và$y^2+2y+2=17^x$ (do:$y^2-2y+2 < y^2+2y+2 \forall y\in N$)
Từ hệ trên rút ẩn ta có: $4y=17^x-5^x$
Thay vào (1), ta có: $(17^x-5^x+4)^2=16(17^x-1)$(2)
Với: $x\geq 2 \rightarrow VT_{(2)}>VP_{(2)}$. Vậy: $x=1 \rightarrow y=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 21-05-2017 - 14:29
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
Vậy thì bài này xử lí dễ dàng.
Từ giả thiết suy ra $x^{2}+y^{2} \mid x+y$
Xét $x=-y$ thì suy ra nghiệm.
Xét $x \not{-y}$ suy ra $\left | x+y \right | \geq x^{2}+y^{2} \geq \frac{(x+y)^{2}}{2}$
$\Rightarrow 2 \geq \left | x+y \right |$
Suy ra $(x+y) \in {1;2;-1;-1}$ thay vào thì dễ dàng có nghiệm.
có thể giải cho tui cái TH1 được không, khó chứ không phải dễ đâu x^2-x chia hết cho 2x^2 rồi sao nữa đây
TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN VMF
có thể giải cho tui cái TH1 được không, khó chứ không phải dễ đâu x^2-x chia hết cho 2x^2 rồi sao nữa đây
$x^2-x$ chia hết cho $2x^2=>x-1$ chia hết cho $2x=>1$chia hết cho $x=>x$ là ước của 1 (do $x$ nguyên)$.Đến đây bạn xét các trường hợp là được.
I Love $\sqrt{MF}$
$x^2-x$ chia hết cho $2x^2=>x-1$ chia hết cho $2x=>1$chia hết cho $x=>x$ là ước của 1 (do $x$ nguyên)$.Đến đây bạn xét các trường hợp là được.
SAI.
TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN VMF
SAI.
Nếu em sai,chị có thể giải thích cho em biết tại sao em lại sai được không!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 21-05-2017 - 21:54
I Love $\sqrt{MF}$
$\boxed{\text{Bài 1}}$ Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thoả mãn $85^x-y^4=4$
Nếu x=0 suy ra loại
Nếu$x\geq 1$ ta có: $85^x=(y^2-2y+2)(y^2+2y+2)$(1)
Dễ thấy y lẻ khác 1 nên$(y^2-2y+2,y^2+2y+2)=1$
Mày^2+2y+2>y^2-2y+2>1
$\Rightarrow y^2-2y+2=5^x;y^2+2y+2=17^x$
Mà $y^2+2y+2<6(y^2-2y+2)
\Rightarrow 17^x<6.5^x\Rightarrow x=1$
$y=3$
Mình nghĩ là chỗ đấy : )
Mình nghĩ phải là : X^2 -x = (x-1)x chia hết cho 2
=> x^2/(x^2 -x ) => 1 chia hết cho x [...] :v
Chỗ đó đúng mà nhỉ?
$x^2-x\vdots 2x^2\Leftrightarrow x^2-x=2kx^2\Leftrightarrow x-1=2kx\Leftrightarrow x-1\vdots x$
Chỗ đó đúng mà nhỉ?
$x^2-x\vdots 2x^2\Leftrightarrow x^2-x=2kx^2\Leftrightarrow x-1=2kx\Leftrightarrow x-1\vdots x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ddang00: 24-05-2017 - 23:45
I Love $\sqrt{MF}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh