Lời giải trên có vẻ chưa chặt chẽ cho lắm mặc dù ý tưởng đúng
Lời giải:
Từ đề bài ta có $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |=1$. (1)
Ta xét tập $A_{1}$ và $n-1$ tập còn lại. Ta có $\left | A_{1}\cap A_{j} \right |=1$ trong đó $2\leq j \leq n$
Vì tập $A_{1}$ có $k$ phần tử nên theo nguyên lí $Drichlet$ thì tồn tại $1$ phần tử $x$ thuộc $A_{1}$ lÀ phần tử chung của ít nhất $m=\frac{n-1}{k} > k-1 (2)$ tập hợp.
Ta sẽ chứng minh $m=n-1$
Dễ thấy $m \leq n-1$
Giả sử rằng $m< n-1$. Lúc đấy sẽ tồn tại $1$ tập hợp $A_{o}$ không chứa phần tử $x$.
Nhưng mà $\left | A_{1}\cap A_{o} \right |=1$ Gọi phần tử đó là $b$.
Gọi giao của $A_{o}$ và tập hợp $A_{l}$ là $t$ trong đó $1\leq l \leq m$ nghĩa là $A_{l}$ là 1 tập hợp bất kì trong những tập hợp chứa $x$.
Ta thấy rằng $b\neq t$ vì nếu $b=t$ thì giao của $A_{1}$ và $A_{l}$ là $x,b$ ( vô lí )
Với $l=\overline{1;m}$ thì $t_{1}\neq t_{2}....\neq t_{m}$ Vì nếu giả sử rằng $t_{p}=t_{q}$ $(1\leq p,q \leq m)$
ThÌ giao của tập hợp $A_{p}$ và $A_{q}$ sẽ là $x, t_{p}=t_{q}$ (Vô lí vì (1))
Từ đó tập $A_{o}$ sẽ chứa $b,t_{1},....t_{m}$ tức là $m+1$ phần tử khác nhau mà $\left | A_{o} \right |=k$ nên $m+1 \leq k$ vô lí với (2).
Vậy điều giả sử là sai tức là $m=n-1$ có nghĩa là $\bigcap_{i=1}^{n}A_{i}={x}$ mà $\left | A_{i}\cap A_{j} \right |=1$
Nên theo công thức bao hàm loại trừ thì ta có$\left | \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} \right |=n(k-1)+1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 19-08-2017 - 14:26