Bài toán 1: Trong không gian tọa độ $Oxyz,$ cho 2 điểm $A(-1;2;3)$ và $B(3;-1;2).$ Điểm $M$ thỏa mãn $MA.\overrightarrow{MA}=4.MB.\overrightarrow{MB}$ có tọa độ là ?
Bài toán 2 : Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A(2;0;0);B(0;3;0);C(0;0;6).$Điểm $D(1;1;1)$ đường thẳng $d$ qua $D(1;1;1)$ và có tổng các khoảng cách từ $A,B,C$ đến $d$ đạt giá trị lớn nhất khi đó $d$ đi qua điểm $M.$ Tọa độ $M$ là bao nhiêu ?
Bài 1 :
$MA.\overrightarrow{MA}=4\ MB.\overrightarrow{MB}\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{4\ MB}{MA}.\overrightarrow{MB}$
Vậy $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng phương và cùng chiều, hơn nữa từ đó còn có :
$\frac{MA}{MB}=\frac{4\ MB}{MA}$ hay $MA=2\ MB$
$\Rightarrow M(7;-4;1)$ ($B$ là trung điểm của $MA$)
Bài 2 :
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $(ABC):3x+2y+z-6=0$
$D(1;1;1)\Rightarrow D\in(ABC)$
$\Rightarrow$ Muốn cho tổng các khoảng cách từ $A,B,C$ đến $d$ lớn nhất thì $d$ phải vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$
Khi đó $M$ phải có tọa độ là $M(1+3t;1+2t;1+t)$ ($t\in\mathbb{R}$)