Chủ đề này có 4 trả lời

[bigway1906]

Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+ \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}) \geq 4(xy+yz+zx)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 23-05-2017 - 10:47

[trambau]

$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+ \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}) \geq 4(xy+yz+zx)$

Giải:

Chuẩn hóa $xy+yz+zx=3 $ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z\geq 3 & & \\ xyz\leq 1 & & \end{matrix}\right.$

Có: $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\geq 3.3-1=8$

$\Rightarrow VT\geq \sqrt[6]{(x+y)(y+z)(z+x)}\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 12=VP$

[bigway1906]

Giải:

Chuẩn hóa $xy+yz+zx=3 $ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z\geq 3 & & \\ xyz\leq 1 & & \end{matrix}\right.$

Có: $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\geq 3.3-1=8$

$\Rightarrow VT\geq \sqrt[6]{(x+y)(y+z)(z+x)}\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 12=VP$

bạn có thể nói mình biết: khi nào thì được dùng chuẩn hóa được k?

[tienduc]

Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+ \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}) \geq 4(xy+yz+zx)$

Cách khác

Ta có

$VT=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(x+y)}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(y+z)}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(z+x)}$

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có

$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(x+y)}=\sqrt{(y^2+xy+yz+zx)(x^2+xy+yz+zx)}\geq (xy+yz+zx+xy)=2xy+yz+zx$

CMTT $\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(y+z)}\geq xy+2yz+zx;\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(z+x)}\geq xy+yz+2zx$

Cộng vế $\rightarrow VT \geq 4(xy+yz+zx)$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 23-05-2017 - 11:00

[kekkei]

 Theo bất đẳng thức Schwartz:$((\sqrt{y})^2+(\sqrt{z})^2)((\sqrt{x})^2+(\sqrt{z})^2)\geqslant \left | z+\sqrt{xy} \right |$

$$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\sum \sqrt{x+y} =\sum (x+y)\sqrt{(y+z)(z+x)} \geqslant \sum (x+y)(z+\sqrt{xy})=2\sum xy+\sum\sqrt{xy} (x+y)$$

* $\sqrt{xy}(x+y)\geqslant 2xy\Leftrightarrow \frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}$ đúng theo AM-GM

Từ đó suy ra đpcm