Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+ \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}) \geq 4(xy+yz+zx)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 23-05-2017 - 10:47
Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+ \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}) \geq 4(xy+yz+zx)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 23-05-2017 - 10:47
$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+ \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}) \geq 4(xy+yz+zx)$
Giải:
Chuẩn hóa $xy+yz+zx=3 $ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z\geq 3 & & \\ xyz\leq 1 & & \end{matrix}\right.$
Có: $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\geq 3.3-1=8$
$\Rightarrow VT\geq \sqrt[6]{(x+y)(y+z)(z+x)}\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 12=VP$
Giải:
Chuẩn hóa $xy+yz+zx=3 $ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z\geq 3 & & \\ xyz\leq 1 & & \end{matrix}\right.$
Có: $(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz\geq 3.3-1=8$
$\Rightarrow VT\geq \sqrt[6]{(x+y)(y+z)(z+x)}\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 12=VP$
bạn có thể nói mình biết: khi nào thì được dùng chuẩn hóa được k?
Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+ \sqrt{y+z} + \sqrt{z+x}) \geq 4(xy+yz+zx)$
Cách khác
Ta có
$VT=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(x+y)}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(y+z)}+\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(z+x)}$
Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có
$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(x+y)}=\sqrt{(y^2+xy+yz+zx)(x^2+xy+yz+zx)}\geq (xy+yz+zx+xy)=2xy+yz+zx$
CMTT $\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(y+z)}\geq xy+2yz+zx;\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)(z+x)}\geq xy+yz+2zx$
Cộng vế $\rightarrow VT \geq 4(xy+yz+zx)$
Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=z$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 23-05-2017 - 11:00
Theo bất đẳng thức Schwartz:$((\sqrt{y})^2+(\sqrt{z})^2)((\sqrt{x})^2+(\sqrt{z})^2)\geqslant \left | z+\sqrt{xy} \right |$
$$\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\sum \sqrt{x+y} =\sum (x+y)\sqrt{(y+z)(z+x)} \geqslant \sum (x+y)(z+\sqrt{xy})=2\sum xy+\sum\sqrt{xy} (x+y)$$
* $\sqrt{xy}(x+y)\geqslant 2xy\Leftrightarrow \frac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}$ đúng theo AM-GM
Từ đó suy ra đpcm
éc éc
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh