Chủ đề này có 7 trả lời

[hoangquochung3042002]

1.Cho các số nguyên x,y,z thỏa: $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z $ CMR: x+y+z chia hết cho 27

2.Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho $5^n +n^5$ chia hết cho 13

3.Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho $2^a+3^b$ là bình phương của một số nguyên

[Baodungtoan8c]

1.Cho các số nguyên x,y,z thỏa: $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z $ CMR: x+y+z chia hết cho 27

 

 Giả sử cả 3 số không có 2 số bất kì nào có cùng số dư khi chia 3 => VP chia hết 3 , VT không chia hết 3 => mâu thuẫn

=> có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia 3 

Giả sử chỉ có 2 số có cùng số dư khi chia 3 => VT chia hết 3 , VP không chia hết 3=> Mâu thuẫn

=> 3 số có cùng số dư khi chia 3 

=> VT chia hết 27

=> Vp chia hết 27

[Cuongpa]

 

2.Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho $5^n +n^5$ chia hết cho 13

 

Bài 2 ra thế này có vẻ hơi lỏng thì phải

Nhẩm qua thì thấy $n=2$ là nghiệm nên ta chỉ cần thử $n\in \left \{ 0;1;2 \right \}$ sau đó suy ra $n=2$ là $n$ nhỏ nhất là được

[hoangquochung3042002]

Bài 2 ra thế này có vẻ hơi lỏng thì phải

Nhẩm qua thì thấy $n=2$ là nghiệm nên ta chỉ cần thử $n\in \left \{ 0;1;2 \right \}$ sau đó suy ra $n=2$ là $n$ nhỏ nhất là được

bạn hơi nhầm rồi. đáp số ko phải là 2 đâu nhé.

[Cuongpa]

bạn hơi nhầm rồi. đáp số ko phải là 2 đâu nhé.

À nhầm thật, lấy $5^2+1^5$ :/ để mình thử giải lại

Nhân tiện theo định lí $Fermat$ nhỏ thì ta có $12$ là một nghiệm, mà hình như là nhỏ nhất rồi phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cuongpa: 23-05-2017 - 17:41

[Hoang Dinh Nhat]

À nhầm thật, lấy $5^2+1^5$ :/ để mình thử giải lại

 

n bé nhất là 12.

[hoangquochung3042002]

À nhầm thật, lấy $5^2+1^5$ :/ để mình thử giải lại

Nhân tiện theo định lí $Fermat$ nhỏ thì ta có $12$ là một nghiệm, mà hình như là nhỏ nhất rồi phải

ukm. đúng rồi. mình đag con vuong o cau 3. bạn làm thử.

[NHoang1608]

3.

Xét $a,b<2$

Xét $a,b \geq 2$

Ta có: Nếu $a$ là số lẻ thì $2^{a}+3^{b} \equiv -1 (mod 3)$

                                        $\Rightarrow t^{2} \equiv 2 (mod 3)$ (Vô lí)

          Nếu $b$ là số lẻ thì $2^{a}+3^{b} \equiv -1 (mod 4)$

                                        $\Rightarrow t^{2} \equiv 3 (mod 4)$ (Vô lí)

Vậy $a,b$ đều chẵn. Đặt $a=2x,b=2y$ với $x,y \geq 1; x,y \in \mathbb{N*}$

Khi đó $(2^{x})^{2}+(3^{y})^{2} = t^{2}$

Nhận thấy $2^{x}$ nguyên tố cùng nhau với $t$ lẫn $3^{y}$

Suy ra $(2^{x}; 3^{y} ; t)$ là bộ ba $Phythagore$ nguyên thủy.

$\Rightarrow 2^{x} = 2mn, 3^{y}=m^{2}-n^{2}, t= m^{2}+n^{2}$ với $(m,n \in \mathbb{N} ,m>n, (m;n)=1)$

Từ $2^{x}=2mn \Rightarrow m= 2^{u}, n= 2^{v}$  $(u>v, u,v \in \mathbb{N})$

Mà $(m;n)=1$ cho nên $(2^{u};2^{v})=1$ suy ra $2^{v}=1 \Rightarrow v=0$

Từ đó mà $n=1$ suy ra $m=2^{x-1}$

$\Rightarrow 3^{y}= (2^{x-1})^{2}- 1$

$\Rightarrow 3^{y}= (2^{x-1}-1)(2^{x-1}+1)$

$\Rightarrow 2^{x-1}-1=3^{k}$ và $2^{x-1}+1 = 3^{h}$ $(h>k)$

$\Rightarrow 3^{h}-3^{k} =2$

Thấy $k>0$ thì vô lí suy ra $k=0 \Rightarrow h=1$

$\Rightarrow 2^{x-1}= 2 \Rightarrow x=2$

$\Rightarrow a=4$. Mặt khác $m=2^{x-1}= 2$, $n=1$ và $3^{y}= m^{2}-n^{2}$ cho nên $3^{y}=4-1=3$ hay $y=1$

Cho nên $b=2y=2$.

Thử lại thấy đúng.

Vậy $a=4,b=2$

 

Kiến thức về bộ ba Pythagore nguyên thủy

Kiến thức này hình như là của cấp 3, mình vô tình đọc được trong cuốn sách của thầy Phan Huy Khải.
Sơ qua thì chứng minh cái này khá là dài nên mình không trình bày ở đây, mình chỉ nêu qua về định lí. Các bạn có thể tham khảo nó ở Internet.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 24-05-2017 - 17:20