Chủ đề này có 1 trả lời

[Drago]

 Cho tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn. Gọi E,F lần lượt là các giao điểm của AD và BC, AB và CD. Gọi I là giao điểm của phân giác hai góc BFC,DEC. G,H lần lượt là trung điểm của BD,AC. Chứng minh rằng G,H,I thẳng hàng.

[vkhoa]

Bổ đề: Điều kiện cần và đủ để điểm I chia đoạn MN theo tỉ lệ k, tức là $\overrightarrow{IM} =k\overrightarrow{IN}$(*), k khác 0, là $\overrightarrow{AI} =\frac{\overrightarrow{AM} -k\overrightarrow{AN}}{1 -k}$, với A là điểm bất kỳ

Cm bđề:

nhận thấy k luôn khác 1

(*)$\Leftrightarrow\overrightarrow{AM} -\overrightarrow{AI} =k\overrightarrow{AN} -k\overrightarrow{AI}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{AM} -k\overrightarrow{AN} =(1 -k)\overrightarrow{AI}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{AI} =\frac{\overrightarrow{AM} -k\overrightarrow{AN}}{1 -k}$(đpcm)

Cm bài toán:

EI cắt AB, CD lần lượt tại J, K

ta có $\widehat{FJK} =\widehat{BAE} +\widehat{DEK} =\widehat{DCE} +\widehat{CEK} =\widehat{FKJ}$

$\Rightarrow FJK$ cân tại F

$\Rightarrow$ I là trung điểm JK

có $\triangle EAB\sim\triangle ECD$(g, g)

$\Rightarrow\frac{EA}{EB} =\frac{EC}{ED} =k$

$\Rightarrow\overrightarrow{JA} =-k\overrightarrow{JB}, \overrightarrow{KC} =-k\overrightarrow{KD}$

theo bổ đề ta có

$\overrightarrow{EJ} =\frac{\overrightarrow{EA} +k\overrightarrow{EB}}{1 +k}$ (1)

$\overrightarrow{EK} =\frac{\overrightarrow{EC} +k\overrightarrow{ED}}{1 +k}$ (2)

cộng (1, 2) vế theo vế ta được

$\overrightarrow{EJ} +\overrightarrow{EK} =\frac{(\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{EC}) +k(\overrightarrow{EB} +\overrightarrow{ED})}{1 +k}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{EI} =\frac{2\overrightarrow{EH} +2k\overrightarrow{EG}}{1 +k}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{EI} =\frac{\overrightarrow{EH} +k\overrightarrow{EG}}{1 +k}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{IH} =-k\overrightarrow{IG}$

$\Rightarrow$ I, G, H thẳng hàng (đpcm)

Hình gửi kèm

•