Chủ đề này có 4 trả lời

[kienvuhoang]

Cho $a;b;c\in \mathbb{N}*$thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố và $3c^2=(a+b)c+ab$

Chứng minh rằng:$8c+1$ là số chính phương 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 23-05-2017 - 19:30

[NHoang1608]

Cho $a;b;c\in \mathbb{N}*$thỏa mãn a-b là số nguyên tố và $3c^2=(a+b)c+ab

Chứng minh rằng:8c+1 là số chính phương 

My solution.

 

Từ giả thiết ta có $4c^{2}=(a+c)(b+c)$

Đặt $(a+c;b+c)=d$ suy ra $d\mid a-b$ mà $a-b$ là số nguyên tố cho nên xảy ra 2TH.

 

TH1. $d=1$

Khi đó $a+c=x^{2}$ và $b+c=y^{2}$

$\Rightarrow x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=a-b$ là số nguyên tố.

$\Rightarrow x-y=1$

$\Rightarrow 4c^{2}=(a+c)(b+c) = x^{2}.y^{2}= y^{2}(y+1)^{2}$

$\Rightarrow 2c= y(y+1)$

$\Rightarrow 8c+1= (2y+1)^{2}$ 

 

TH2. $d=a-b$

Từ đó ta có $a-b \mid a+c$ ,$a-b\mid b+c$

Đặt $a+c=k(a-b)$ và $b+c=h(a-b)$    $(k,h \in \mathbb{N})$

Suy ra $a+c-b-c=a-b=(k-h)(a-b)$

           $\Rightarrow k-h=1$ $(a \not{=} b)$

Suy ra $4c^{2}=(a+c)(b+c) = (a-b)^{2}kh= (a-b)^{2}k(k-1)$

           $\Rightarrow k(k-1)$ là số chính phương. 

Dễ dàng có được $k=0$ hoặc $k=1$

Nếu $k=0$ thì $c=0$ vô lí.

Nếu $k=1$ thì $c=0$ vô lí.

 

Vậy chỉ có TH1 đúng hay $8c+1= (2y+1)^{2}$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 23-05-2017 - 18:40

[kienvuhoang]

My solution.

 

Từ giả thiết ta có $4c^{2}=(a+c)(b+c)$

Đặt $(a+c;b+c)=d$ suy ra $d\mid a-b$ mà $a-b$ là số nguyên tố cho nên xảy ra 2TH.

 

TH1. $d=1$

Khi đó $a+c=x^{2}$ và $b+c=y^{2}$

$\Rightarrow x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=a-b$ là số nguyên tố.

$\Rightarrow x-y=1$

$\Rightarrow 4c^{2}=(a+c)(b+c) = x^{2}.y^{2}= y^{2}(y+1)^{2}$

$\Rightarrow 2c= y(y+1)$

$\Rightarrow 8c+1= (2y+1)^{2}$ 

 

TH2. $d=a-b$

Từ đó ta có $a-b \mid a+c$ ,$a-b\mid b+c$

Đặt $a+c=k(a-b)$ và $b+c=h(a-b)$    $(k,h \in \mathbb{N})$

Suy ra $a+c-b-c=a-b=(k-h)(a-b)$

           $\Rightarrow k-h=1$ $(a \not{=} b)$

Suy ra $4c^{2}=(a+c)(b+c) = (a-b)^{2}kh= (a-b)^{2}k(k-1)$

           $\Rightarrow k(k-1)$ là số chính phương. 

Dễ dàng có được $k=0$ hoặc $k=1$

Nếu $k=0$ thì $c=0$ vô lí.

Nếu $k=1$ thì $c=0$ vô lí.

 

Vậy chỉ có TH1 đúng hay $8c+1= (2y+1)^{2}$ là số chính phương.

Cách này có vẻ dài và phức tạp

Tôi xin đóng góp My Solution luôn:

GT$\Rightarrow (a+b-2c)(a+b+6c)=(a-b)^2$

Vì a+b-2c<a+b+6c>0 và a-b là số nguyên tố

$\Rightarrow a+b-2c=1;a+b+6c=(a-b)^2$

$\Rightarrow 8c+1=(a-b)^2$

[satthuphucthu]

Cách này có vẻ dài và phức tạp

Tôi xin đóng góp My Solution luôn:

GT$\Rightarrow (a+b-2c)(a+b+6c)=(a-b)^2$

Vì a+b-2c<a+b+6c>0 và a-b là số nguyên tố

$\Rightarrow a+b-2c=1;a+b+6c=(a-b)^2$

$\Rightarrow 8c+1=(a-b)^2$

Sao bạn phân tich dc cái này v 

$\Rightarrow (a+b-2c)(a+b+6c)=(a-b)^2$

[kienvuhoang]

Sao bạn phân tich dc cái này v 

$\Rightarrow (a+b-2c)(a+b+6c)=(a-b)^2$Y

Có a-b là số nguyên tố thì đây chỉ là ý tưởng tự nhiên thôi:)))