Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenduy287]

 Cho 3 số không âm a,b,c. Chứng minh rằng: 

$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

 P/s: nếu làm bằng dồn biến được thì càng tốt nhé !!!

[Baoriven]

Khai triển ra, được BĐT cần chứng minh tương đương với: 

$a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b)$

$\Leftrightarrow a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) \ge 0$

Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $a(a-b)(a-c) \ge b(a-b)(b-c)$ và $c(c-a)(c-b) \ge 0$ nên ta có đpcm.

[HoangKhanh2002]

 Cho 3 số không âm a,b,c. Chứng minh rằng: 

$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

 P/s: nếu làm bằng dồn biến được thì càng tốt nhé !!!

Cái này là BĐT $Schur$ tổng quát với k = 1

[Zeref]

 Cho 3 số không âm a,b,c. Chứng minh rằng: 

$(a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

 P/s: nếu làm bằng dồn biến được thì càng tốt nhé !!!

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \geq b \geq c$

Đặt $f(a,b,c)=(a+b+c)^3+9abc-4(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Ta chứng minh $f(a,b,c) \geq f(a,b,b)$ hay

$(a+b+c)^3+9abc-4(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq (a+2b)^3+9ab^2-4(a+2b)(2ab+b^2)$

Thu gọn, ta được:

$(c-b)(c^2-ac-b^2+2ab-a^2) \geq 0$

$<=>(c-b)[c(c-a)-(a-b)^2] \geq 0$ (đúng vì $a \geq b \geq c$ )

Bước cuối, ta chứng minh $f(a,b,b) \geq 0$

Ta có $(a+2b)^3+9ab^2-4(a+2b)(2ab+b^2)=a(b-a)^2 \geq 0$

Vậy, bđt được chứng minh