Chủ đề này có 1 trả lời

[TenLaGi]

Chứng minh rằng:

$ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq \frac{3}{4}(a+b+c)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aditconmeno: 23-05-2017 - 20:33

[Cuongpa]

Chứng minh rằng:

$ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq \frac{3}{4}(a+b+c)^2$

Đặt $x=a\sqrt{2}; y=b\sqrt{2};z=c\sqrt{2}$ thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$(\frac{x^2}{2}+1)(\frac{y^2}{2}+1)(\frac{z^2}{2}+1)\geq \frac{3}{4}(\frac{x+y+z}{\sqrt{2}})^{2}$

$\Leftrightarrow (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\geq 3(x+y+z)^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ ta có:

$(x+y+z)^{2}\leq (x^2+2)(1+\frac{y^2+z^2+2yz}{2})$

Do đó ta cần phải chứng minh:

$(y^2+2)(z^2+2)\geq 3(1+\frac{y^2+z^2+2yz}{2})$

$\Leftrightarrow 2(yz-1)^2+(y-z)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$