Chủ đề này có 6 trả lời

[DiepDan]

Tìm nghiệm nguyên

1. $x^{2}+5y^{2}+6z^{2}+2xy-4xz=10$

2. $2x^{6}+y^{2}-2x^{3}y=320$

3. $65(x^{3}y^{3}+x^{2}+y^{2})=81(xy^{3}+1)$

4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

5. $\sqrt{x+\sqrt{x}}=y$

[Tea Coffee]

2. $2x^{6} +y^{2}-2x^{3}y=320 <=> (x^{6} -2x^{3}y+y^{2}) +x^{6}=320 <=> (x^{3}-y)^{2}+(x^{3})^{2} =320$

Rồi dùng cách tổng các bình phương là ra

[Cuongpa]

Tìm nghiệm nguyên

1. $x^{2}+5y^{2}+6z^{2}+2xy-4xz=10$

 

Bài này chắc có hướng đơn giản nhất

 

 

Phương trình tương đương:

$x^2+2x(y-2z)+(y^2-4yz+4z^2)+(4y^2+4yz+z^2)+z^2=10$

$\Leftrightarrow (x+y-2z)^{2}+(2y-z)^{2}+z^2=0^2+1^2+3^2$

Đến đây xét từng trường hợp thì ra được nghiệm của phương trình (hình như là $18$ trường hợp phải )

 

 

Tìm nghiệm nguyên

4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

Bài này hướng của mình như thế này:

Biến đổi phương trình thành:

$(x+y)(x^2+y^2)=2(x+y)^2+2(x^2+y^2)+12$

Đặt $x+y=a; x^2+y^2=b$ thì phương trình trên trở thành:

$ab=2a^2+2b+12\Leftrightarrow (a-2)(2a+4-b)=-20$

Tìm được $a,b$ sau đó thay vào tìm $x,y$. Có thể dùng cả việc $x+y$ và $x^2+y^2$ cùng tính chẵn lẻ và $x^2+y^2\equiv 0;1;2(mod4)$ để rút ngắn bớt trường hợp

 

Hai bài trên mình giải có vẻ hơi dài, ai có cách ngắn hơn thì post lên nha

[Hoang Dinh Nhat]

Tìm nghiệm nguyên

1. $x^{2}+5y^{2}+6z^{2}+2xy-4xz=10$

2. $2x^{6}+y^{2}-2x^{3}y=320$

3. $65(x^{3}y^{3}+x^{2}+y^{2})=81(xy^{3}+1)$

4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

5. $\sqrt{x+\sqrt{x}}=y$

 

5. Để phương trình có nghiệm nguyên thì $x$ là số chính phương và $x+\sqrt{x}$ là số chính phương

Đặt $x=a^2;x+\sqrt{x}=b^2$ ($a,b\epsilon \mathbb{Z}$)

$\Rightarrow a^2+a=b^2$$\Leftrightarrow a(a+1)=b^2$

Như vậy $a$ và $a+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp và vì $(a;a+1)=1$ nên $a$ và $a+1$ phải đồng thời là số chính phương

Như vậy $a$ và $a+1$ là hai số chính phương nhưng là hai số liên tiếp. Trong tất cả các số tự nhiên thì chỉ có số 0 và số 1 thỏa mãn điều kiện trên.

$\Rightarrow a=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0$

[Tea Coffee]

Bài này chắc có hướng đơn giản nhất

 

 

Phương trình tương đương:

$x^2+2x(y-2z)+(y^2-4yz+4z^2)+(4y^2+4yz+z^2)+z^2=10$

$\Leftrightarrow (x+y-2z)^{2}+(2y-z)^{2}+z^2=0^2+1^2+3^2$

Đến đây xét từng trường hợp thì ra được nghiệm của phương trình (hình như là $18$ trường hợp phải )

 

 

Bài này hướng của mình như thế này:

Biến đổi phương trình thành:

$(x+y)(x^2+y^2)=2(x+y)^2+2(x^2+y^2)+12$

Đặt $x+y=a; x^2+y^2=b$ thì phương trình trên trở thành:

$ab=2a^2+2b+12\Leftrightarrow (a-2)(2a+4-b)=-20$

Tìm được $a,b$ sau đó thay vào tìm $x,y$. Có thể dùng cả việc $x+y$ và $x^2+y^2$ cùng tính chẵn lẻ và $x^2+y^2\equiv 0;1;2(mod4)$ để rút ngắn bớt trường hợp

 

Hai bài trên mình giải có vẻ hơi dài, ai có cách ngắn hơn thì post lên nha

Không đến 18 trường hợp đâu chỉ có 12 trường hợp thôi 

[Tea Coffee]

Bài này chắc có hướng đơn giản nhất

 

 

Phương trình tương đương:

$x^2+2x(y-2z)+(y^2-4yz+4z^2)+(4y^2+4yz+z^2)+z^2=10$

$\Leftrightarrow (x+y-2z)^{2}+(2y-z)^{2}+z^2=0^2+1^2+3^2$

Đến đây xét từng trường hợp thì ra được nghiệm của phương trình (hình như là $18$ trường hợp phải )

 

 

Bài này hướng của mình như thế này:

Biến đổi phương trình thành:

$(x+y)(x^2+y^2)=2(x+y)^2+2(x^2+y^2)+12$

Đặt $x+y=a; x^2+y^2=b$ thì phương trình trên trở thành:

$ab=2a^2+2b+12\Leftrightarrow (a-2)(2a+4-b)=-20$

Tìm được $a,b$ sau đó thay vào tìm $x,y$. Có thể dùng cả việc $x+y$ và $x^2+y^2$ cùng tính chẵn lẻ và $x^2+y^2\equiv 0;1;2(mod4)$ để rút ngắn bớt trường hợp

 

Hai bài trên mình giải có vẻ hơi dài, ai có cách ngắn hơn thì post lên nha

Chỉ có 4 trường hợp thôi:

+) Xét z là số chẵn

=> $z^{2}$ là số chẵn và $(2y-z)^{2}$ là số chẵn mà 10 = $0^{2}+1^{2}+3^{2}$ (chỉ duy nhất cách xếp tổng này) nên vô lý(loại)

=> z là số lẻ => 2y-z lẻ rồi 2 số z; (2y-z) thay lần lượt 1;3;-1;-3 vào còn x+y-2z=0

[NHoang1608]

Tìm nghiệm nguyên

1. $x^{2}+5y^{2}+6z^{2}+2xy-4xz=10$

2. $2x^{6}+y^{2}-2x^{3}y=320$

3. $65(x^{3}y^{3}+x^{2}+y^{2})=81(xy^{3}+1)$

4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

5. $\sqrt{x+\sqrt{x}}=y$

4. Bài này khả thi nhất có lẽ là đặt $xy=a$, $x+y=b$ như anh Cường. Tuy rất dài nhưng có lẽ là cách duy nhất.

3. Dùng liên phân số.

 Phương trình tương đương với: $\frac{x^{3}y^{3}+x^{2}+y^{2}}{xy^{3}+1}= \frac{81}{65}$

                                                   $\Leftrightarrow x^{2}+ \frac{y^{2}}{xy^{3}+1}= 1+\frac{16}{65}$

                                                   $\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{x+\frac{1}{y^{2}}} = 1+ \frac{1}{ 4+\frac{1}{16}}$

                                                   $\Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{xy+\frac{1}{y^{2}}} = 1+ \frac{1}{4+\frac{1}{16}}$

          Theo tính chất liên phân số thì ta có $x^{2}=1, xy=4 , y^{2}=16$

 Suy ra $x=-1,y=-4$ hoặc $x=1,y=4$

Nếu không dùng liên phân số, ta có thể dùng BĐT để chặn $x$.