Chủ đề này có 5 trả lời

[Drago]

Cho $a>0$. Xác định dãy số:

 

$(x_{n})$:$x_{0}=a$, $x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}^{2}}$, $\forall n \geq 0$

 

Tìm giới hạn lim $\frac{x_{n}}{\sqrt[3]{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 23-05-2017 - 21:46

[An Infinitesimal]

Cho $a>0$. Xác định dãy số:

 

$(x_{n})$:$x_{0}=a$, $x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}^{2}}$, $\forall n \geq 0$

 

Tìm giới hạn lim $\frac{x_{n}}{\sqrt[3]{n}}$

 

Dãy $\{x_n\}$ tăng nhưng không thể có giới hạn hữu hạn. Do đó $\lim x_n =\infty.$

 

$x_{n+1}^3-x_n^3= \left(x_{n}+\frac{1}{x_{n}^{2}}\right)^3-x_n^3=3+\frac{3}{x_n^3}+\frac{1}{x_n^6}.$

Do đó $\lim (x_{n+1}^3-x_n^3)=3.$

 

Áp dụng "định lý" Cesaro, ta có $\lim \frac{x_n^3}{n}=3.$ Suy ra $\lim \frac{x_n}{\sqrt[3]{n}}=\sqrt[3]{3}.$

[Drago]

Phiền bạn nói rõ hơn về định lý Cesaro

[Zz Isaac Newton Zz]

Phiền bạn nói rõ hơn về định lý Cesaro

Định lý trung bình $Cesaro$ hay bổ đề bậc thang được phát biểu như sau:

Cho dãy $(x_{n}),$ nếu $\lim_{n\rightarrow +\infty }(x_{n+1}-x_{n})=a$ thì $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n}}{n}=a.$

[Drago]

Định lý trung bình $Cesaro$ hay bổ đề bậc thang được phát biểu như sau:

Cho dãy $(x_{n}),$ nếu $\lim_{n\rightarrow +\infty }(x_{n+1}-x_{n})=a$ thì $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n}}{n}=a.$

Thi HSG cân chứng minh định lý này không? Chứng minh ntn?

[Zz Isaac Newton Zz]

Thi HSG cân chứng minh định lý này không? Chứng minh ntn?

Cái định lý này cần chứng minh nha bạn.

Chứng minh:

Xét dãy số $(u_{n})$ như sau: $u_{n}=x_{n}-na.$ Khi đó $\lim_{n\rightarrow +\infty }(u_{n+1}-u_{n})=\lim_{n\rightarrow +\infty }(x_{n+1}-x_{n}-a)=0.$

Vì $\lim_{n\rightarrow +\infty }(u_{n+1}-u_{n})=0$ nên $\forall \varepsilon > 0, \exists n_{0}\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho: $\begin{vmatrix} u_{n+1}-u_{n} \end{vmatrix} < \varepsilon, \forall n\geq n_{0}.$

Với mọi $n> n_{0}+2$ ta có:

$\begin{vmatrix} \frac{u_{n}}{n} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \frac{u_{n_{0}}+(u_{n_{0}+1}-u_{n_{0}})+...+(u_{n}-u_{n-1})}{n} \end{vmatrix} < \begin{vmatrix} \frac{u_{n_{0}}}{n} \end{vmatrix} +\left ( \frac{n-n_{0}}{n} \right )\varepsilon .$

Cố định $n_{0},$ ta có thể chọn $n_{1}$ cố định, đủ lớn sao cho $\begin{vmatrix} \frac{u_{n_{0}}}{n_{1}} \end{vmatrix} < \varepsilon.$ Khi đó với mọi $n> n_{1}$ ta có $\begin{vmatrix} \frac{u_{n}}{n} \end{vmatrix} < 2\varepsilon .$ Vậy $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{u_{n}}{n}=0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n}-na}{n}=0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{x_{n}}{n}=a.$