Chủ đề này có 3 trả lời

[Drago]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn điều kiện $f(x-y).f(y-z).f(z-x)+8=0, \forall x,y,z \in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 24-05-2017 - 00:13

[Zz Isaac Newton Zz]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn điều kiện $f(x-y).f(y-z).f(z-x)+8=0, \forall x,y,z \in \mathbb{R}$ (1)

Giả sử hàm $f$ là hàm số thỏa mãn các yêu cầu đề bài.

Thay $x=\frac{t}{2}; y=\frac{-t}{2}; z=0$ vào (1) ta được: $f(t).\left [f\left ( \frac{-t}{2} \right ) \right ]^{2}+8=0, \forall t\in \mathbb{R}.$

Suy ra $f(t)< 0, \forall t\in \mathbb{R}.$ Vậy đặt $f(x)=-2^{g(x)}.$ Thay vào (1) ta được $\left [ -2^{g(x-y)} \right ].\left [ -2^{g(y-z)} \right ].\left [ -2^{g(z-x)} \right ]=-2^{3}, \forall x, y, z\in \mathbb{R}\Leftrightarrow g(x-y)+g(y-z)+g(z-x)=3, \forall x, y, z\in \mathbb{R}.$   (2)

Đặt $h(x)=g(x)-1,$ thay vào (2) ta được: $h(x-y)+h(y-z)+h(z-x)=0\Leftrightarrow h(x-y)+h(y-z)=-h(z-x), \forall x, y, z\in \mathbb{R}.$    (3)

Đặt $u=x-y, v=y-z\Rightarrow u+v=x-z.$ Từ (3) ta có: $h(u)+h(v)=-h(-u-v), \forall u, v\in \mathbb{R}.$   (4)

Trong (4) lấy $u=v=0$ ta được $h(0)=0.$ Trong (4) lấy $v=0$ và sử dụng $h(0)=0$ suy ra $h(-u)=-h(u), \forall u\in \mathbb{R}.$ Vậy từ (4) ta được: $h(u)+h(v)=h(u+v), \forall u, v\in \mathbb{R}.$   (5)

Từ (5) ta dễ dàng tìm ra hàm thỏa mãn là $h(x)=ax, \forall x\in \mathbb{R}$ và $a$ là hằng số thực bất kì.

Mà $h(x)=g(x)-1\Leftrightarrow g(x)=ax+1, \forall x\in \mathbb{R}$ và $f(x)=-2^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=-2^{ax+1}, \forall x\in \mathbb{R}$ và $a$ là hằng số thực bất kì.

[Baoriven]

Thế $x=t,z=-t,y=0$ ta được: $f(-2t)=\frac{-8}{f(t)^2}< 0$ Nên $f(x)< 0,\forall x\in \mathbb{R}$.

Đặt: $g(x)=ln(\frac{f(x)}{-2})\rightarrow f(x)=-2.e^{g(x)}.$

Thế vào phương trình ban đầu ta được: $g(x-y)+g(y-z)+g(z-x)=0$.

Thế $x=y=z$ thì $g(0)=0$.

Thế $y=z$ thì $g(x)=g(-x)$.

Suy ra: $g(x-y)+g(y-z)=-g(z-x)=-g(x-z)=g(x-y+y-z)\rightarrow g(x+y)=g(x)+g(y)$.

Vì $f$ liên tục nên $g$ liên tục. 

Theo PT hàm $Cauchy$ ta được: $g(x)=ax$.

Suy ra: $f(x)=-2.e^{ax}=-2.b^x$ với $b=e^a> 0$.

Thử lại thỏa mãn.

[Drago]

Hi

 

Thế $x=t,z=-t,y=0$ ta được: $f(-2t)=\frac{-8}{f(t)^2}< 0$ Nên $f(x)< 0,\forall x\in \mathbb{R}$.

Đặt: $g(x)=ln(\frac{f(x)}{-2})\rightarrow f(x)=-2.e^{g(x)}.$

Thế vào phương trình ban đầu ta được: $g(x-y)+g(y-z)+g(z-x)=0$.

Thế $x=y=z$ thì $g(0)=0$.

Thế $y=z$ thì $g(x)=g(-x)$.

Suy ra: $g(x-y)+g(y-z)=-g(z-x)=-g(x-z)=g(x-y+y-z)\rightarrow g(x+y)=g(x)+g(y)$.

Vì $f$ liên tục nên $g$ liên tục. 

Theo PT hàm $Cauchy$ ta được: $g(x)=ax$.

Suy ra: $f(x)=-2.e^{ax}=-2.b^x$ với $b=e^a> 0$.

Thử lại thỏa mãn.

Hiện tại chưa có topic về PTH, pp giải cũng rất mơ hồ, mình cũng kém phần PTH, bạn có thể lập toipic về phần này để mọi người cùng thảo luận không?