Chủ đề này có 1 trả lời

[Zz Isaac Newton Zz]

Cho dãy $(u_{n})$ xác định bởi $u_{1}=1$ và $u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{u_{n}}, \forall n=1, 2, ...$. Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{u_{1}+u_{2}+...+u_{n}}{n\sqrt{n}}.$

[manhhung2013]

sử dụng định lý Cesaro ft. Stolz

Trước hết chứng minh dãy trên $u_{n}$ tăng và không bị chặn trên.(dễ cm)

$\lim_{n\rightarrow +\propto }(u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2})=\lim_{x\rightarrow +\propto }((u_{n}+\frac{1}{u_{n}})^{2}-u_{n}^{2})=\lim_{x\rightarrow +\propto }(2+\frac{1}{u_{n}^{2}})=2$

Theo định lý Cesaro:

$\lim_{n\rightarrow \propto }\frac{u_{n}}{n}=2\Rightarrow\lim_{x\rightarrow \propto }\frac{u_{n}}{\sqrt{n}} =\sqrt{2}$

Đặt:$x_{n}=u_{1}+u_{2}+...+u_{n},y_{n}=n\sqrt{n}$

Khi đó dãy (yn) tăng thực sự và không bị chặn trên. Định lý stolz:

$\lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=\lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{u_{n+1}}{(n+1)\sqrt{n+1}-n\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{u_{n+1}((n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n})}{3n^{2}+3n+1}=\lim_{n\rightarrow +\propto }\frac{u_{n+1}}{\sqrt{n}}.\frac{(1+\frac{1}{n})\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}{3+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}= \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhhung2013: 24-05-2017 - 11:40