Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $a$ để dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$ và tìm giới hạn trong các trường hợp đó.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

Cho dãy số $(x_{n})$ như sau: $x_{1}=a, x_{n+1}=3x_{n}^{3}-7x_{n}^{2}+5x_{n}, \forall n=1, 2, ...$ và $a$ là tham số thực. Tìm $a$ để dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$ và tìm giới hạn trong các trường hợp đó.



#2
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Cho dãy số $(x_{n})$ như sau: $x_{1}=a, x_{n+1}=3x_{n}^{3}-7x_{n}^{2}+5x_{n}, \forall n=1, 2, ...$ và $a$ là tham số thực. Tìm $a$ để dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty$ và tìm giới hạn trong các trường hợp đó.

 

Ta có

$x_{n+1}-x_n=x_n(x_n - 1)(3x_n - 4).$

Suy ra giới hạn hữu nếu có của dãy là $0, 1$ hoặc $4/3.$

 

Trường hợp 1: $a<0$ thì $x_{n+1}<x_n\,\forall n\in \mathbb{N}$ và $\lim x_n<0$  (nếu tồn tại hữu hạn). Do đó  $\{x_n\}$ không có giới hạn hữu hạn.

 

 

Trường hợp 2: $a>4/3$ thì $x_{n+1}>x_n\,\forall n\in \mathbb{N}$ và $\lim x_n>4/3$  (nếu tồn tại hữu hạn). Do đó  $\{x_n\}$ không có giới hạn hữu hạn.

 

 

Trường hợp 3: $a\in [0,1)$

 

Trường hợp 3.1: $a=0$

 

Vì $x_n=0\,\forall n\in \mathbb{N}$ nên dãy $\{x_n\}$  có giới hạn hữu hạn và giới hạn này là $0$.

 

 

Trường hợp 3.2: $a\in (0,1)$ 

 

Liệu $x_{n+1}>1? \iff 3x_{n}^{3}-7x_{n}^{2}+5x_{n}>1 \iff x_n>1/3, x_n \neq 1.$ 

 

Trường hợp 3.2.1: $a=1/3.$

 

$x_n=1\,\forall n> 1$. Do đó dãy $\{x_n\}$  có giới hạn hữu hạn và giới hạn này là $1$.

Trường hợp 3.2.2: $a\in (1/3,1).$

Khi đó, $x_n\in (1, 4/3)$. Do đó (như Trường hợp 4), $\{x_n\}$ là dãy giảm và hội tụ về $1$.

 

Trường hợp 3.2.3: $a\in (0,1/3).$

 

 

Cần xử lý thêm. Lý do: thì $x_n$ có thể lớn hơn 1, dãy có thể không đơn điệu.

 

$\left|\frac{x_2}{x_1}\right|\ge 3..$

 

 

Trường hợp 4: $a\in [1,4/3)$ thì $ x_n\in [1,4/3), x_{n+1}<x_n\,\forall n\in \mathbb{N}$ . Do đó  $\{x_n\}$ không có giới hạn hữu hạn và giới hạn này là $1$.

 

Trường hợp 5: $a=4/3$ thì $x_n=4/3\,\forall n\in \mathbb{N}$. Do đó dãy $\{x_n\}$  có giới hạn hữu hạn và giới hạn này là $4/3$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 24-05-2017 - 12:53

Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh