Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
thinhtrantoan

thinhtrantoan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Chứng minh các bất đẳng thức:

a, $(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$ (với a, b, c thực dương)

b, $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$ (với a, b, c>0 và a+b+c=1)

c, $\sum \frac{a^{2}b}{2a+b}\leq \frac{3}{2}$ (với a, b, c dương a+b+c=3)

d, $\sum \frac{ab}{c^{2}}\geq \frac{1}{2}(\sum \frac{a+b}{c})$ (a, b, c thực)

e, $\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$ (với a, b, c>0 và abc=1)


"Tình yêu thương lớn lên nhờ sự cho đi. Sự yêu thương mà chúng ta cho đi chính là sự yêu thương mà chúng ta có được"

https://www.facebook...htrantoan952002


#2
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Chứng minh các bất đẳng thức:

a, $(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$ (với a, b, c thực dương)

b, $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$ (với a, b, c>0 và a+b+c=1)

c, $\sum \frac{a^{2}b}{2a+b}\leq \frac{3}{2}$ (với a, b, c dương a+b+c=3)

d, $\sum \frac{ab}{c^{2}}\geq \frac{1}{2}(\sum \frac{a+b}{c})$ (a, b, c thực)

e, $\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$ (với a, b, c>0 và abc=1)

a. Theo AM-GM, ta có:

$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc+(a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{1}{8}+1)(a+b)(b+c)(c+a)$

b. $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\sum \frac{ab}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{ab}{a+b}+\frac{ab}{a+c})=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}$


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#3
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

c. $\leq 1$ chứ nhỉ.$\sum \frac{a^{2}b}{2a+b}=\sum \frac{a^{2}b}{a+a+b}\leq \sum \frac{a^{2}b}{3\sqrt[3]{a^{2}b}}\leq \sum \frac{1}{3}\sqrt[3]{a^{4}b^{2}}\leq \sum \frac{1}{3}\sqrt[3]{a^{2}abab}\leq \sum \frac{a^{2}+2ab}{9}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{9}\leq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 24-05-2017 - 15:18

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#4
sharker

sharker

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết
 
$\frac{{{a^3}}}{{(1 + b)(1 + c)}} + \frac{{1 + b}}{8} + \frac{{1 + c}}{8} \ge \frac{3}{4}a\\$
$ \to \sum {\frac{{{a^3}}}{{(1 + b)(1 + c)}} \ge \frac{{6(a + b + c) - 6 - 2(a + b + c)}}{8}}  = \frac{{4(a + b + c) - 6}}{8} \ge \frac{{4.3\sqrt[3]{{abc}} - 6}}{8} = \frac{3}{4}$

Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu

Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió

Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc

Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào

Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây

Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??

will you wait for me forever


#5
hieumetoan

hieumetoan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Chứng minh các bất đẳng thức:

a, $(a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$ (với a, b, c thực dương)

b, $\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}\leq \frac{1}{2}$ (với a, b, c>0 và a+b+c=1)

c, $\sum \frac{a^{2}b}{2a+b}\leq \frac{3}{2}$ (với a, b, c dương a+b+c=3)

d, $\sum \frac{ab}{c^{2}}\geq \frac{1}{2}(\sum \frac{a+b}{c})$ (a, b, c thực)

e, $\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$ (với a, b, c>0 và abc=1)

câu e:

$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)} +\sum \frac{1+b}{8}+\sum \frac{1+c}{8} \geqslant \sum \frac{3a}{4}$

bạn tự làm tiếp
 


1+1=2





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh