Chủ đề này có 2 trả lời

[dangtranbach2001]

chứng minh P_(x)= [(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n)]²+1 bất khả quy 

[Dark Magician 2k2]

chứng minh P_(x)= [(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n)]²+1 bất khả quy 

Giả sử $P(x)$ khả quy. Viết $P(x)=f(x).g(x)$ sao cho $deg_{f}, deg_{g}\geq 1$

Dễ thấy $f(a_{i}).g(a_{i})=1, i=1,2,..,n$

Do $P(x)$ vô nghiệm nên $f(x)$ và $g(x)$ cũng vô nghiệm. 

Giả sử $f(x)>0,\forall x\in\mathbb{Z}$, suy ra $f(a_{i})=g(a_{i})=1, \forall i=1,2,..,n$

Đặt $deg_{f(x)}=f, deg_{g(x)}=g$.

Theo cách viết thì dễ dàng có $f+g=2n$

Ta xét $3$ trường hợp sau:

   $TH_1:f>g$. Suy ra f<n. Mà $f(x)-1$ có n nghiệm nhưng $deg_{f(x)-1}<n$ nên vô lý.

   $TH_2:f<g$. Tương tự cũng vô lý.

   $TH_3:f=g$. Suy ra $f(x)=g(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)+1$. Thử lại thấy vô lý.

Vậy $P(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Magician 2k2: 24-05-2017 - 21:07

[An Infinitesimal]

chứng minh P_(x)= [(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n)]²+1 bất khả quy 

 

Đề bài không chỉnh chu! Chẳng hiểu $a_i$ là gì!