Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
bigway1906

bigway1906

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq  a^2+b^2+c^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bigway1906: 24-05-2017 - 23:42


#2
adteams

adteams

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq  a^2+b^2+c^2$

C/m: 1/a^2 - a^2 >= -4a +4
vs a thuộc [1/3 ; 7/3 ]
tương tự
=> DPCM (  :
 


                                        [Dương Tuệ Linh ]

                                                [Linh]


#3
TrBaoChis

TrBaoChis

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 81 Bài viết
$\Leftrightarrow$ $\sum$ $(\frac{1}{a^2}-a^2)$ $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$  $\sum$ $(\frac{1}{a}-a)(\frac{1}{a}+a)$ $\geq$ 0 
$Áp$ $dụng$ $AM-GM$ : $VT$ $\geq$ 2$\sum$ $(\frac{1}{a}-a)$
$mặt$ $khác$ $\sum$ $\frac{1}{a}$ $\geq$ $\frac{9}{3}$ $\geq$ a+b+c
$\Rightarrow$ $ĐPCM$
Đúng thì Like >:)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 25-05-2017 - 05:53


#4
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Xét BĐT phụ: $\frac{1-a^4}{a^2}\geq -4a+4$ là xong


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#5
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq  a^2+b^2+c^2$

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca) \geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq 9$

 

Áp dụng Am-Gm:

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(ab+bc+ca)^{2}}=3\sqrt[3]{\frac{(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{4}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)^{2}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}=9$

 

(Áp dụng BĐT: $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$

 

.................................


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 08-06-2017 - 18:12

:huh:


#6
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq  a^2+b^2+c^2$

Ta có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$

Ta cần chứng minh: $\frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq (a+b+c)^2=9$

Lại có: $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 6\sqrt{abc}$

$\Rightarrow \frac{3}{abc}+2(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{abc}+6\sqrt{abc}=\frac{3}{abc}+3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}\geq 9$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh