Chủ đề này có 2 trả lời

[Drago]

$\left\{\begin{matrix} &ax+by=c \\ &bx+cy=a \\ & cx+ay=b \end{matrix}\right.$

 

 

Chứng minh rằng hệ trên là điều kiện cần và đủ để phương trình $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ có nghiệm.

 

[TrBaoChis]

aiz thái bình 2010-2011

[khgisongsong]

cộng 2 vế của 3 pt đã cho ta có

(x+y).(a+b+c)=a+b+c

<=> a+b+c=0 hoặc x+y=1

TH1 a+b+c=0

TH2

TH2.1 a=b=c

TH2.2

trong 3 số a,b,c có nhiều nhất 1 cặp số bằng nhau

$ax+by=c <=>ax+b(1-x)=c<=>x(a-b)=(c-b)$

nếu a-b=0 thì c-d=0 suy ra a=b=c (loại) suy ra $a-b\neq 0$

=>$x=\frac{c-b}{a-b}$

tương tự ta có $x=\frac{a-c}{b-c} và x=\frac{b-a}{c-a}$

$x^{3}=-1 <=>x=-1$

$-a+2b=c$(1)

 $-b+2c=a$(2)

$-c+2a=b$ (3)

thế c từ (1) vào 3 ta được a-2b+2a=b <=>a=b

tương tự ta có a=c và b=c =>a=b=c (loại)

vậy hệ pt ban đầu tương đương với a+b+c=0 hoặc a=b=c

dù a+b+c=0 hay a=b=c thì ta đều có

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})=0$

do các phép biến đổi là tương tương nên hệ phương trình đã cho là điều kiện cần để pt $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$ có nghiệm

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khgisongsong: 27-05-2017 - 13:30